习题 16, § 2

a) 设$\Lambda$为单调递增映射$\lambda : \mathbf{N} \to \mathbf{R}_+^*$中的集合；对于每个整数 $n \geq 0$ 和每个 $\lambda \in \Lambda$，让 $\phi_n(\lambda) = \lambda(n)$。令 E 为所有映射 $x : \Lambda \to \mathbf{C}$ 中的集合，这样，对于每个 $n \in \mathbf{N}$，我们有 $p_n(x) = (\sum_{\lambda \in \Lambda} |x(\lambda)|^2 \phi_n(\lambda))^{1/2} < + \infty$。证明 E 是向量空间，其中 $p_n$ 是定义自反 Fréchet 空间结构的半范数。 b) 设B为E中的有界集合，并令$\alpha_n = \sup_{x \in B} p_n(x)$；令$\lambda_0$为$\Lambda$的元素，使得$\lim_{n \to \infty} \lambda_0(n)^{-1} \alpha_n^2 = 0$。证明 $x(\lambda_0) = 0$ 对于所有 $x \in B$，因此集合 B 不是 E 中的总和。 c) 令 $(U_n)$ 为 E 中 0 的凸且平衡邻域的可数基数系统；如果$U_n^\circ$对于$E'$上的强拓扑可度量，则E中存在有界集合的序列$(B_{nm})_{m \geq 0}$，使得集合$B_{nm}^\circ \cap U_n^\circ$形式基本系统 $U_n^\circ$中邻域为0，拓扑强。从 b) 推导出存在整数 $n$，使得 $U_n^\circ$ 对于强拓扑是不可度量的（使用 III、p. 38 的练习 5）。