习题 9, § 2

a) 设 E 为无限维实希尔伯特空间满足，可数性第一公理。令$(a_n)_{n \geq 0}$为E中点的自由族，使得$(a_{2n})$和$(a_{2n+1})$中的每一个在E中都是总的（II，p. 80，执行26，$a$）。设F和G是E的两个向量子空间，其中$(a_{2n})$和$(a_{2n+1})$分别是（代数）基。 空间 F 和 G 通过双线性形式 $\langle y|z \rangle$ 置于分离对偶性中。证明如果B在E中表示单位球，则在空间F中，赋予拓扑$\sigma(F, G)$，凸集合$F \cap B$是闭凸的，但没有任何闭支撑超平面。 b) 令$(b_n)_{n \geq 1}$为B中的处处稠密集合，对于每个$x \in E$，令$u(x)$为序列$(\langle b_k|x\rangle/k)_{k \geq 1}$。证明 $u$ 是从 E 到希尔伯特空间 $\ell^2(\mathbf{N})$ 的单射连续线性映射，并且$u(B)$ 是紧致的。证明，在$\ell^2(\mathbf{N})$的标准化子空间$L = u(F)$中，集合$u(B \cap F)$是闭凸且预紧的，但没有任何闭支撑超平面（观察如果$f$是L上的连续线性形式，则$f \circ u$ 是 F 上的连续线性形式，对于拓扑 $\sigma(F, G)$）。