习题 1, § 3

令 E 为希尔伯特空间。证明从$\hat{\mathbf{S}}^m(E) \times \hat{\mathbf{S}}^n(E)$到$\hat{\mathbf{S}}^{m+n}(E)$的双线性映射$(u, v) \mapsto uv$是连续的，并且它的范数等于$\left( \frac{(m+n)!}{m! \ n!} \right)^{1/2}$。 （要看到这个范数以$\left( \frac{(m+n)!}{m! \ n!} \right)^{1/2}$为界，请像外部代数（V，p. 35）的情况一样进行论证。推导出当E不简单地为0时，$\mathbf{S}(E)$不能中的乘法通过连续性扩展到$\hat{\mathbf{S}}(E)$。