习题 1, § 4

令 E 和 F 为两个无限维希尔伯特空间满足可数性第一公理，$(a_n)$ E 的正交规范基，以及 $(b_n)$ F 的正交规范基。 a) 令$u$为从E到F的连续线性映射；让$u(a_n) = \sum_m \alpha_{mn} b_m$。表明

b) 给出双序列$(\alpha_{mn})$的例，使得$\sum_m |\alpha_{mn}|^2 \leq 1$对于所有$n$和$\sum_n |\alpha_{mn}|^2 \leq 1$对于所有$m$，但是不存在从E到F的任何连续的线性映射$u$，使得每对整数 $(m, n)$ $\langle u(a_n)|b_m \rangle = \alpha_{mn}$。 （证明如果$I \subset \mathbf{N}$是$p$整数的集合，并且如果$V_p$（或$W_p$）是由$a_n$（或$b_n$）生成的E（或F）的子空间，使得$n \in I$，则存在从$V_p$到$W_p$的线性映射$u_p$，使得$\langle u_p(a_n)|b_m \rangle = \frac{1}{\sqrt{p}}$对应$m \in I$和$n \in I$，以及$\|u_p\| \geq \sqrt{p}$。）