习题 10, § 4

设 E 为希尔伯空间，u 为 E 的正自同态。 a) 证明对于所有 $x \in E$，我们有

（观察$\langle u(x)|u(x) \rangle^2 \leq \langle u(x)|x \rangle \langle u^2(x)|u(x) \rangle$，由V，p. 3，命题2）。 b) 设 M 为 E 的闭向量子空间，$M^\circ$ 其正交补集。设$x \in M$，并设$f(x)$为$\langle u(x+y)|x+y \rangle$的下界，因为$y$的范围超过$M^\circ$。对于每个$\varepsilon > 0$，令$E(x, \varepsilon)$为所有$y \in M^\circ$中的集合，使得$\langle u(x+y)|x+y \rangle \leq f(x) + \varepsilon$。证明 $E(x, \varepsilon)$ 是凸的，并且对于所有 $z \in M^\circ$，我们有 （考虑实数变量 t 的函数 $g : t \mapsto \langle u(x+y+tz)/x+y+tz \rangle$，它在点 $t_0$ 和注处达到最小值，$g(t_0) \geq f(x)$ 和 $g(0) \leq f(x) + \varepsilon$。 c) 对于每个整数$n \geq 1$，令$y_n \in E(x, 1/n)$；表明序列 $(u(x+y_n))$ 倾向于极限 $x_1'$ 属于到 M，并且序列 $(\langle u(y_n)|y_n \rangle)$ 是有界的（找到数 $\langle u(y_n-y_m)|y_n-y_m \rangle$ 对于 $m \geq n$ 的界限，并且$|\langle u(x+y_n)|z \rangle|$ 使用不等式 (*)) 表示$z \in M^\circ$。 d) 令$(y'_n)$为$M^\circ$的点的序列，使得当$m$和$n$足够大时，$\langle u(y'_n-y'_m)|y'_n-y'_m \rangle$是任意小的，并且序列$(u(x+y'_n))$有极限 $x_1' \in M$；

show that $x'_1 = x_1$. (Let $Q(z) = \langle u(z)|z \rangle$; first show that the number $Q((y_p - y'_p) - (y_q - y'_q))$ is arbitrarily small as soon as $p$ and $q$ are large enough, and deduce that the sequence $(Q(y_n - y'_n))$ is bounded; using the fact that $\langle x'_1 - x_1|y_p - y'_p \rangle = 0$ for all $p$, show that the sequence $(Q(y_n - y'_n))$ tends to 0 and use $a$.) e) Deduce from $d$ that the point $x_1$ does not depend on the choice of the $y_n \in E(x, 1/n)$, and that if we put $u_1(x) = x_1$, then $u_1$ is a linear mapping from $M$ into itself. 证明对于所有 $x \in M$ 都有 $0 \leq \langle u_1(x)|x \rangle \leq \langle u(x)|x \rangle$，因而 $u_1$ 是连续的并且是 $M$ 的自同态，即 $\geq 0$。 （观察$\langle u(x + y_n)|y_n \rangle$趋向于0，$\langle u(x + y_n)|x + y_n \rangle$趋向于$f(x)$。） f) 设 $p_M$ 为像 $M$ 的正射投影，并设 $u_0 = u_1 \circ p_M$。 我们有$0 \leq u_0 \leq u$，$M$在$u_0$下稳定，$u_0$到$M^\circ$的限制为空。 证明$u_0$是所有自同态$v \geq 0$族中的最大的元素，使得$v \leq u$，$M$在$v$下稳定，并且$v$到$M^\circ$的限制为空。