习题 13, § 4

令$E$为希尔伯特空间，$E$的希尔伯特空间结构的所有自同构中的群$G$子群。令$E^G$为$G$下所有向量不变量的$E$由……组成的闭向量子空间，以及$p$从$E$到$E^G$的正射投影。 a) 证明$E$中$E^G$的正交补是向量$s.x - x$生成的闭向量子空间，其中$s$的范围超过$G$和$x \in E$。 b) 令$H$为$E$的非空闭凸子集，其在$G$下稳定。证明 0 的投影到 $H$ 属于到 $E^G$。 c) 假设$H$是点$x$对$E$的轨道的闭凸包络，并令$a$是0到$H$的投影。显示 $a = p(x)$ 和 $H \cap E^G$ 约化到点 $a$（《Birkhoff-Alaoglu th.》）。 （观察$x - a$包含在$E^G$的正交补中。） d) 假设$G$是由$E$的自同构$u$生成。显示 $p(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} \sum_{j=0}^n u^j(x)$ 对于所有 $x \in E$（如果 $y_n = \frac{1}{n+1} \sum_{j=0}^n u^j(x)$、注序列 $(y_n)$ 具有弱极限点 $a$，并且 $u(a) = a$，则使用$c$）。 e) 假设$G$是同态$t \mapsto u_t$的像，从$\mathbf{R}$到$E$的自同构的群，这样对于所有$x \in E$，$t \mapsto u_t \cdot x$是连续的映射从$\mathbf{R}$变为$E$。显示 $p(x) = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T u_t \cdot x \, dt$ 对于所有 $x \in E$。

f) 假设E存在元素$x \neq 0$和数$\alpha$，使得所有$s \in G$都有$0 < \alpha < 1$和$\| s.x - x \| \leq \alpha \| x \|$。证明$E^G \neq \{0\}$（使用c））。