习题 14, § 4

设 E 为复希尔伯特空间，T 为 E 的希尔伯特-施密特自同态。 a) 令 R 和 L 为正 Hilbert-Schmidt 自同态，使得 $R^2 = T*T$ 和 $L^2 = TT^*$（V，p. 57，cor. 3）；让 $R = \operatorname{abs}(T)$，并将其称为 T 的“绝对值”（cf. V，p. 75，练习 4）；我们有$L = \operatorname{abs}(T^*)$。证明 $\operatorname{Ker}(T) = \operatorname{Ker}(R)$ 和 $\overline{L(E)} = \overline{T(E)}$。从$R(E)$到$T(E)$存在一个且仅有一个等距V使得$T = VR$；如果我们将扩展V连续到$\overline{R(E)}$，然后通过在$R(E)$的正交补上取$U.x = 0$到运算符$U \in \mathscr{L}(E)$，我们也有$T = UR$（T的极分解）。然后是$R = U*T = U^*UR = RU^*U$和$L = URU^*, T = LU^*$。如果 T 属于到 $\mathscr{L}^1(E)$，那么 $R = \operatorname{abs}(T)$ 也是如此，并且 T 是两个 Hilbert-Schmidt 自同态的乘积。

b) 如果 $T$ 属于到 $\mathscr{L}^1(E)$，则表明 $\operatorname{Tr}(\operatorname{abs}(T)) = \sup (\sum_i | \langle a_i|T.b_i \rangle |)$，其中，在右侧，$(a_i)$ 和 $(b_i)$ 的范围超过 E 的正交基的集合（使用 T 的极坐标分解）。证明如果我们放入 $\| T \|_1 = \operatorname{Tr}(\operatorname{abs}(T))$，那么 $\| T \|_1$ 就是空间 $\mathscr{L}^1(E)$ 上的范数，从而得到 $\| T \|_2 \leq \| T \|_1$。 c) 相反，如果$T \in \mathscr{L}(E)$使得对于E的正交基的每个对$((a_i), (b_i))$，和$\sum_i | \langle a_i|T.b_i \rangle |$是有限的，则$T \in \mathscr{L}^1(E)$（首先观察T是希尔伯特-施密特自同态，然后使用极坐标T 的分解）。 d) 令 $(T_v)$ 为 Hilbert-Schmidt 自同态的序列（分别为 $\mathscr{L}^1(E)$ 的元素），使得对于 E 的点 x、y 的每个对，序列 $(\langle x|T_v.y \rangle)$ 收敛于$\langle x|T.y \rangle$，其中 T 是从 E 到自身的线性映射；在加法中，假设范数$\| T_v \|_2$（或$\| T_v \|_1$）的序列是有界的。证明 T 是 Hilbert-Schmidt 自同态（分别是 $\mathscr{L}^1(E)$ 的元素）（使用 b) 和 c)）。 e) 从 d) 推出空间 $\mathscr{L}^1(E)$ 是范数 $\| T \|_1$ 的 Banach 空间。 f) 对于自同态 $T \in \mathscr{L}(E)$ 至属于至 $\mathscr{L}^1(E)$，对于 E 的至少一个正交标准基 $(e_i)$，和 $\sum_i \| T.e_i \|$ 是有限的（记号为 a）， 注那个$|\langle e_i|R.e_i \rangle| \leq \| T.e_i \|$。 g) 在空间$\ell_c^2$中，令$(e_n)$为规范正交基，并令$a = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n+1} e_n$；如果F是一维子空间$\mathbf{C}.a$，则正射投影$p_F$有有限迹，但级数$\sum_n \| p_F.e_n \|$不收敛。