习题 2, § 4

令$A = (\alpha_{mn})_{(m,n) \in \mathbf{N} \times \mathbf{N}}$为复数的双序列，我们也称其为无限矩阵。对于直和空间 $\mathbf{C}^{(\mathbf{N})}$中的每个点 $x = (x_n)$，定义和 $y_m = \sum_n \alpha_{mn} x_n$；令$A.x$为乘积空间$\mathbf{C}^\mathbf{N}$的点$(y_m)$，则$x \mapsto A.x$为从$\mathbf{C}^{(\mathbf{N})}$到$\mathbf{C}^\mathbf{N}$的线性映射，以及从$\mathbf{C}^{(\mathbf{N})}$到每个线性映射到$\mathbf{C}^\mathbf{N}$就是这个形式。令$E_n$表示由典范基的第一个$n$向量生成的$\mathbf{C}^{(\mathbf{N})}$的子空间，$P_n$从$\mathbf{C}^\mathbf{N}$到$E_n$的规范投影；当$E_n$由空间$\ell_2^\mathbf{C}(\mathbf{N})$诱导分配范数时，$\|u\|$表示从有限维希尔伯特空间$E_n$到自身的线性映射$u$的范数。 a) 在阶中，映射$x \mapsto A.x$下的$\mathbf{C}^{(\mathbf{N})}$的像包含在$\ell_2^\mathbf{C}(\mathbf{N})$中，并且这个映射扩展到从$\ell_2^\mathbf{C}(\mathbf{N})$到其自身的连续的线性映射是必要且充分的范数 $\|P_n A P_n\|$ 是有界的。这意味着$A$属于到$\ell_2^\mathbf{C}(\mathbf{N})$的行和列（练习1）。 b) 让$A^*$表示无限矩阵$(\alpha'_{mn})$，其中$\alpha'_{mn} = \overline{\alpha}_{nm}$。如果$A$属于的列到$\ell_2^\mathbf{C}(\mathbf{N})$（在其他字，如果$x \mapsto A.x$映射$\mathbf{C}^{(\mathbf{N})}$到$\ell_2^\mathbf{C}(\mathbf{N})$），那么级数$\beta_{mn} = \sum_p \overline{\alpha}_{pm} \alpha_{pn}$是绝对收敛，我们设$A^*A = (\beta_{mn})$。证明对于 $x \mapsto A.x$ 到扩展到从 $\ell_2^\mathbf{C}(\mathbf{N})$ 到自身的连续线性映射 $u$，范数 $\|P_n (A^*A) P_n\|$ 有界是充分必要的（对于所有 $x \in E_n$，我们都有 $\langle P_n (A^*A) P_n.x|x \rangle = \|AP_n.x\|^2$）。然后 $x \mapsto A^*A.x$ 扩展从 $\ell_2^\mathbf{C}(\mathbf{N})$ 变为正厄米特映射 $u^*u$ 自身。 c) 对于两个无限矩阵$X = (\xi_{mn}), Y = (\eta_{mn})$，如果级数$\zeta_{mn} = \sum_p \xi_{mp} \eta_{pn}$绝对收敛，我们说乘积$XY$被定义，然后我们放入$XY = (\zeta_{mn})$。如果定义了 $X^{k-1}$ 和 $X^{k-1}X$，我们就说幂 $X^k$ ($k$ 整数 > 1) 被定义，然后我们放入$X^k = X^{k-1}X$；在这种情况下，对于整数$p, q$的每个对，$X^p X^q = X^k$使得$p + q = k$。 如果$A$是一个无限矩阵，其列在$\ell_2^\mathbf{C}(\mathbf{N})$中，并且定义了乘积$(A^*A)^2$，则表明对于所有$x \in E_n$，我们有$\langle (P_n A^*A P_n)^2.x|x \rangle \leq \langle P_n (A^*A)^2 P_n.x|x \rangle$，并推导出$\|P_n A^*A P_n\|^2 \leq \|P_n (A^*A)^2 P_n\|$。 d) 在阶中，无限矩阵A使得$x \mapsto A.x$下的$\mathbf{C}^{(\mathbf{N})}$的像包含在$\ell_2^\mathbf{C}(\mathbf{N})$中，并且$x \mapsto A.x$扩展到从$\ell_2^\mathbf{C}(\mathbf{N})$连续的线性映射就其本身而言，满足以下三个条件是必要且充分的： (i) $A$的行和列在$\ell_2^\mathbf{C}(\mathbf{N})$中；

(ii) 为每个整数$k > 1$定义幂$(A^*A)^k$； （三）我们有

其中$(A^*A)^n_{mm}$表示项，其中指标$(m, m)$等于矩阵$(A^*A)^n$。 （观察一下，如果$C$是矩阵，相对于$E_n$的典范基，$E_n$的正厄米特自同态，则$\|C\| \leq n \sup_{1 \leq i \leq n} |C_{ii}|$，通过考虑$C$的迹和对角化$C$。使用在c)中证明了不等式，表明 对于每个整数 $k > 1$，如果满足条件 (i)、(ii) 和 (iii)。）