习题 3, § 4

设$(a_{ij})_{(i,j) \in I \times I}$是复数的可数无穷双族。假设存在两个数$\beta > 0$、$\gamma > 0$，以及一个$(p_i)_{i \in I}$族数$> 0$满足关系 ()

对于$I$中的所有$i, j$。 a) 证明存在从 $\ell^2_c(I)$ 到范数 $\leq (\beta \gamma)^{1/2}$ 的连续自同态 $u$，这样对于 $\ell^2_c(I)$ 中的所有 $x = (x_i)_{i \in I}$，我们有 $u(x) = y$，其中 $y = (y_i)$ 由 $y_i = \sum_j a_{ij} x_j$ 给出（对于将$x = (x_i)$和$y = (y_i)$放入$\mathbf{C}^I$中），放入$v_{ij} = |x_i| (p_j |a_{ij}| / p_i)^{1/2}$、$w_{ij} = |y_j| (p_i |a_{ij}| / p_j)^{1/2}$，并找到$\sum_{i,j} v_{ij} w_{ij}$的界限。 b) 对于$I$，取所有整数$\geq 1$中的集合，并令$a_{ij} = (i + j)^{-1}$。证明条件 () 满足 $p_i = i^{-1/2}$ 和 $\beta = \gamma = \pi$（这些是可能的最佳常数）（将 () 中的级数与积分进行比较）。以类似的方式，处理 $I = \mathbf{N}$ 和 $a_{ij} = (i + j + 1)^{-1}$（“希尔伯特矩阵”）的情况。 \ c) 令$\mathscr{H} = \mathbf{H}^2(D)$为所有函数$f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n$的*Hardy空间*、由……组成，在开盘$D : |z| < 1$中解析，使得$\|f\|^2 = \sum_n |a_n|^2 < +\infty$；那么$\|f\|$是$\mathscr{H}$上的范数，其中$\mathscr{H}$与$\ell^2_c(\mathbf{N})$同构的。给定 $\mathscr{H}$ 中的两个函数 $f, g$，证明实数变量 $t$ 的函数 $t \mapsto f(t) g(t)$ 对于勒贝格测度可在 $[0, 1]$ 上积，并且公式 $B(f, g) = \int_0^1 f(t) g(t) \, dt$ 定义 a $\mathscr{H} \times \mathscr{H}$上的连续双线性形式（考虑形式$f(z) = \sum_{n=0}^N a_n z^n$的函数$f \in \mathscr{H}$使用$B(f, f) = \int_0^1 f(t)^2 \, dt$，以及$a_n \geq 0$对于$0 \leq n \leq N$；使用柯西定理建立关系 从中我们得到$B(f, f) \leq \frac{1}{2} \int_{-\pi}^\pi |f(e^{i\theta})|^2 d\theta = \pi \|f\|^2$。这样就得到b)的结果，根据希尔伯特空间$\ell^2_c(\mathbf{N})$的范数$\leq \pi$的希尔伯特矩阵定义自同态。）