习题 8, § 4

a) 令 E 为希尔伯特空间，并令 T 为从 E 到自身的连续线性映射，使得$\|T\| \leq 1$。证明关系 $T.x = x, \langle T.x|x \rangle = \|x\|, T^*.x = x$ 是等价的，并且$1_E - T$ 的核和$1_E - T$ 的像的闭包是正交补集。 b) 设 T 是从 E 到自身的连续线性映射，满足不等式

对于所有$x \in E$。然后$\|T.x\| < \|x\|$对于所有$x$使得$T.x \neq x$；对于每个$x \in E$，序列$(T^n.x)$收敛到点$P.x$，$P$是$1_E - T$的正交投影算子到核。 c) 设 $P_1, ..., P_r$ 为 E 上的正射投影。证明乘积 $T = P_1P_2 ... P_r$ 满足关系 (1)（通过 r 上的归纳论证）；因此，正交投影$P$是投影算子$P_j$的像的正交投影算子到交（注，如果$\|P_j.x\| < \|x\|$对于指标j，则$\|T.x\| < \|x\|$）。