习题 3, § 1

令$\mathscr{C}(I)$为定义在$\mathbf{R}$紧致区间$I = [a, b]$上的连续有限实数函数的完备空间，并赋予$\mathscr{C}(I)$一致收敛的拓扑（\emph{Gen. 顶部。}、X、p. 277）。 令$A$为函数$x$形成的$\mathscr{C}(I)$的子集，使得对于\emph{至少一个}点$t \in [a, b[$（取决于函数$x$）函数$x$有\emph{有限}右导数。 证明 $A$ 是 $\mathscr{C}(I)$ 中的 \emph{meagre} 集合 (\emph{Gen. Top.}, IX, p. 192), and hence its complement, that is, the set of continuous functions on $I$ not having a finite right derivative at \emph{any point} of $[a, b[$ is a Baire subspace of $\mathscr{C}(I)$ (\emph{Gen. 顶部。}、IX、p. 192）。 （令$A_n$为函数$x \in \mathscr{C}(I)$中的集合，使得对于$t$满足$a \leq t \leq b - 1/n$中的至少一个值（并且取决于$x$），对于所有$t'$，一个人具有$|x(t') - x(t)| \leq n |t' - t|$，使得$t \leq t' < t + 1/n$。 证明每个$A_n$是$\mathscr{C}(I)$中的闭\emph{无处稠密}集合：注，在$\mathscr{C}(I)$中每个球包含函数在$[a, b[$上具有有界右导数；另一方面，对于每个$\varepsilon > 0$和每个整数$m > 0$，$I$上存在一个连续的函数，在$[a, b[$的每个点有一个有限右导数，这样，对于所有$t \in [a, b[$，都有$|y(t)| \leq \varepsilon$和$|y'_r(t)| \geq m.$）