习题 4, § 1

设 E 是在 $\mathbf{R}$ 和 $f$ 上的拓扑向量空间，是在开区间 $I \subset \mathbf{R}$ 上定义的连续向量函数，并且在 I 的每个点处都有一个右导数和一个左导数。

a) 令U为E中的非空开集合，并且由点x形成I的A子集，使得$f'_d(x) \in U$。给定数$\alpha > 0$，令B为由点x构成的I的子集，使得至少存在一个$y \in I$、满足、条件、$x - \alpha \leq y < x$和$(f(x) - f(y))/(x - y) \in U$；表明集合 B 是开集并且 $A \cap CB$ 是可数的（注最后一个集合由与 CB 相邻的区间的左端点形成）。推断点 $x \in A$ 的集合使得 $f'_g(x) \notin \overline{U}$ 可数。

b) 假设E是一个赋范的空间；那么像$f(I)$是一个具有可数基的度量空间，对于由$f(I)$，子空间生成的E的封闭向量子空间F也是如此，其中包含$f'_d(I)$和$f'_g(I)$。从a) 推导出点 $x \in I$ 中的集合使得$f'_d(x) \neq f'_g(x)$ 是可数的。 （如果$(U_n)$对于F 注的拓扑来说是可数基，那么对于F的两个不同的点$a, b$，存在两个不相交的集合$U_p, U_q$使得$a \in U_p$和$b \in U_q$。）

c) 取E乘积$\mathbf{R}^I$（映射的空间从I进入$\mathbf{R}$，赋予拓扑简单收敛），并且对于每个$x \in I$表示为$g(x)$映射将I中的$t \mapsto |x - t|$转换为$\mathbf{R}$。证明 g 是连续的，并且对于每个 $x \in I$，都有 $g'_r(x) \neq g'_l(x)$。