习题 8, § 2

考虑在区间 $[0,\ 1]$ 上，成对不相交的开区间族 $(I_{n,p})$，归纳定义如下： 整数 $n$ 取所有值 $\geq 0$；对于 $n$ 整数 $p$ 中的每个值需要值 $1,\ 2,\ \ldots,\ 2^n$；一个有 $I_{0,1} = ]\frac{1}{3},\ \frac{2}{3}[$；如果$J_n$是区间$I_{m,p}$相应的到数$m \leq n$的并，则$J_n$的补集是$2^{n+1}$成对闭区间不相交的闭区间$K_{n,p}$的并 （$1 \leq p \leq 2^{n+1}$）。如果 $K_{n,p}$ 是区间 $[a,\ b]$ 1，则 $I_{n+1,p}$ 取端点为 $b - \frac{b-a}{3} \left( 1 + \frac{1}{2^n} \right)$ 和 $b - \frac{b-a}{3.2^n}$ 的开区间。令$E$为完美的集合，它是$I_{n,p}$的并相对于$[0,\ 1]$的补集。 定义在 $[0,\ 1]$ 上，连续实数函数 $f$，它允许在 $[0,\ 1[$ 的每个点处存在右导数，但在与区间端点不同的点 $E$ 的不可数子集处不能有左导数与 $E$ 相邻（*cf.* 执行 7）。 （在$E$上取$f(x) = 0$，在每个$I_{n,p}$上适当地取定义$f$，这样对于每个$x \in E$，有点$y < x$，而不是属于到$E$，任意接近$x$，并且使得$\frac{f(y) - f(x)}{y - x} = -1$。）