习题 11, § 3

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实变函数, I, 42

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令 $f_1, f_2, \ldots, f_n$ 和 $g_1, g_2, \ldots, g_n$ 为 $2n$ 实数函数，它们在区间I上可微分 $n - 1$ 倍。设 $(x_i)_1 \leq n$ 为I中点的严格递增的序列。证明两个行列式的比值

\begin{vmatrix} f_1(x_1) & f_1(x_2) & \cdots & f_1(x_n) \\ f_2(x_1) & f_2(x_2) & \cdots & f_2(x_n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_n(x_1) & f_n(x_2) & \cdots & f_n(x_n) \end{vmatrix}

等于两个行列式的比率

\begin{vmatrix} g_1(x_1) & g_1(x_2) & \cdots & g_1(x_n) \\ g_2(x_1) & g_2(x_2) & \cdots & g_2(x_n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ g_n(x_1) & g_n(x_2) & \cdots & g_n(x_n) \end{vmatrix}

\begin{vmatrix} f_1'(\xi_1) & f_1'(\xi_2) & \cdots & f_1^{(n-1)}(\xi_n) \\ f_2'(\xi_1) & f_2'(\xi_2) & \cdots & f_2^{(n-1)}(\xi_n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_n'(\xi_1) & f_n'(\xi_2) & \cdots & f_n^{(n-1)}(\xi_n) \end{vmatrix}

\begin{vmatrix} g_1'(\xi_1) & g_1'(\xi_2) & \cdots & g_1^{(n-1)}(\xi_n) \\ g_2'(\xi_1) & g_2'(\xi_2) & \cdots & g_2^{(n-1)}(\xi_n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ g_n'(\xi_1) & g_n'(\xi_2) & \cdots & g_n^{(n-1)}(\xi_n) \end{vmatrix}

哪里

\xi_1 = x_1,\quad \xi_1 < \xi_2 < x_2,\quad \xi_2 < \xi_3 < x_3,\quad \ldots,\quad \xi_{n-1} < \xi_n < x_n

（应用I、p. 38 中的练习 9）。

$g_1(x) = 1, g_2(x) = x, \ldots, g_n(x) = x^{n-1}$ 的特殊情况。

解答

尚未写出解答。

被以下引用

无。