Bourbaki

习题 12, § 3

标签 085H，永久不变。引用为 [Bourbaki, Tag 085H]。

实变函数, I, 43

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

a) 令 ff 为向量函数定义且在有限区间 I=[−a,+a]I = [-a, +a] 上连续，将其值置于 R\mathbf{R} 上的标准化空间 EE 中，并在 II 上二次可微。如果有人放入M0=sup⁡x∈I∥f(x)∥,M2=sup⁡x∈I∥f′′(x)∥M_0 = \sup_{x \in I} \|f(x)\|, \quad M_2 = \sup_{x \in I} \|f''(x)\|，则表明对于所有x∈Ix \in I，有人有

∥f′(x)∥≤M0a+x2+a22aM2 \|f'(x)\| \leq \frac{M_0}{a} + \frac{x^2 + a^2}{2a} M_2
（表达每个差异f(a)−f(x),f(−a)−f(x)f(a) - f(x), \quad f(-a) - f(x)）。

b) 从 a) 推导出，如果 ff 是区间 II（有界或无界）上的二次可微函数，并且如果 M0=sup⁡x∈I∥f(x)∥M_0 = \sup_{x \in I} \|f(x)\| 和 M2=sup⁡x∈I∥f′′(x)∥M_2 = \sup_{x \in I} \|f''(x)\| 是有限的，则 M1=sup⁡x∈I∥f′(x)∥M_1 = \sup_{x \in I} \|f'(x)\| 也是有限的，并且有：

M1≤2M0M2if I has length ≥2M0M2 M_1 \leq 2 \sqrt{M_0 M_2} \qquad \text{if } I \text{ has length } \geq 2 \sqrt{\frac{M_0}{M_2}}
M1≤2M0M2if I=R. M_1 \leq \sqrt{2} \sqrt{M_0 M_2} \qquad \text{if } I = \mathbf{R}.
证明在这两个不等式数 2 和 2\sqrt{2} 中，分别将不能替换为较小的数（首先考虑仅假设 ff 承认二阶右导数的情况，并证明在这种情况下，前面不等式的两个项可以变得相等，取 为ff 实数函数等于第二个次数多项式的“碎片”）。

c) 从 b) 中推导出，如果 ff 在 R\mathbf{R} 上可微分 pp 倍，并且如果 Mp=sup⁡x∈R∥f(p)(x)∥M_p = \sup_{x \in \mathbf{R}} \|f^{(p)}(x)\| 和 M0=sup⁡x∈R∥f(x)∥M_0 = \sup_{x \in \mathbf{R}} \|f(x)\| 是有限的，则数 Mk=sup⁡x∈R∥f(k)(x)∥M_k = \sup_{x \in \mathbf{R}} \|f^{(k)}(x)\| 中的每一个都是有限的（对于 1≤k≤p−11 \leq k \leq p-1）并且

Mk≤2k(p−k)/2M01−k/pMpk/p. M_k \leq 2^{k(p-k)/2} M_0^{1-k/p} M_p^{k/p}.

解答

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