习题 16, § 3

令 $f$ 为 $I = ]-1,+1[$ 上可微的实数函数 $n$ 倍，并且使得 $|f(x)| \leq 1$ 在此区间上。

a) 证明如果 $m_k(\lambda)$ 表示$I$ 中包含的长度 $\lambda$ 区间上$|f^{(k)}(x)|$ 的最小值，则有

（注，如果将长度$\lambda$的区间分解为长度$\alpha, \beta, \gamma$的三个区间，则其中一个有

b) 从a)推导出，存在仅依赖于整数$n$的数$\mu_n$，使得如果$|f'(0)| \geq \mu_n$，则导数$f^{(n)}(x)$在$I$的至少$n-1$不同的点上消失（显示为$k$ 上的归纳 $f^{(k)}$ 在 $I$ 上消失了至少 $k-1$ 次）。