习题 18, § 3

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实变函数, I, 45

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令 $(a_n)_{n \geq 0}$ 为复数的任意序列。对于每个 $n \geq 0$ ，放入 $s_n^{(0)} = a_n$ ，并且归纳地，对于 $k \geq 0$ ，定义

s_n^{(k+1)} = s_0^{(k)} + s_1^{(k)} + \cdots + s_{n-1}^{(k)}.

a) 证明“泰勒的公式对于序列”：对于每个整数

\left| s_{n+h}^{(k)} - s_n^{(k)} - h s_n^{(k-1)} - \binom{h}{2} s_n^{(k-2)} - \ldots - \binom{h}{k-1} s_n^{(1)} \right| \leq \binom{h}{k} \sup_{0 \leq i \leq h-1} |a_{n+i}|

（从

k

归纳出发）。

b) 假设存在数 $C$ ，使得 $|n a_n| \leq C$ 适用于所有 $n$ ，并且由部分和 $s_n = a_0 + \cdots + a_{n-1}$ 的算术平均值 $(s_0 + \cdots + s_{n-1})/n$ 形成的序列 $(s^{(2)}/n)$ 趋向于极限 $\sigma$ 。证明级数与一般项 $a_n$ 收敛并且具有和 $\sigma$ （“Hardy-Littlewood tauberian 定理”）。（写

s_n = \frac{1}{h} \left( s_{n+h}^{(2)} - s_n^{(2)} \right) + \frac{h-1}{2} r_n

其中

|r_n|

借助不等式

|n a_n| \leq C

在上面有界，并且

h

被适当地选择为

n

的函数。）

解答

尚未写出解答。

被以下引用

无。

引用了

无。