习题 7, § 3

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实变函数, I, 41

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令 $f$ 为有限实数函数 $n$ 次可微，在点 $x_0$ 处，而 $g$ 向量函数则在点 $y_0 = f(x_0)$ 处可微 $n$ 次。让

f(x_0 + h) = a_0 + a_1 h + \cdots + a_n h^n + r_n(h)

g(y_0 + k) = b_0 + b_1 k + \cdots + b_n k^n + s_n(k)

分别是点、

x_0

和

y_0

的

f

和

g

的阶、

n

的泰勒展开。证明点

x_0

的复合函数

g \circ f

的阶

n

的泰勒展开的

n+1

项的和等于和多项式中次数

\leq n

的项

b_0 + b_1 (a_1 h + \cdots + a_n h^n) + b_2 (a_1 h + \cdots + a_n h^n)^2 + \cdots + b_n (a_1 h + \cdots + a_n h^n)^n.

推导出以下两个公式：

一）

D^n(g(f(x))) = \sum \frac{n!}{m_1! m_2! \ldots m_q!} g^{(p)}(f(x)) \left( \frac{f'(x)}{1!} \right)^{m_1} \cdots \left( \frac{f^{(q)}(x)}{q!} \right)^{m_q}

和被接管正整数

(m_i)_{1 \leq i \leq q}

的所有系统，使得

m_1 + 2m_2 + \cdots + qm_q = n

其中

p

表示和

m_1 + m_2 + \cdots + m_q

。

b)

D^n(g(f(x))) = \sum_{p=1}^n \frac{1}{p!} g^{(p)}(f(x)) \left( \sum_{q=1}^p \binom{p}{q} (-f(x))^{p-q} D^n((f(x))^q) \right).

解答

尚未写出解答。

被以下引用

无。

引用了

无。