习题 25, § 4

有人说，如果对$x \geq 0, y \geq 0$有$f(x+y) \geq f(x) + f(y)$，并且有$f(0) = 0$，则在$[0, +\infty[$上定义的实数函数$f$是“超可加性”。 a) 给出例不连续超加法函数。

b) 证明$[0, +\infty[$ 上的每个凸函数 $f$ 使得$f(0) = 0$ 是超可加的。

c) 如果 $f_1$ 和 $f_2$ 是超加法，那么 $\inf(f_1, f_2)$ 也是；使用它，展示非凸连续超加性函数的例。

d) 如果$f$是连续的并且$\geqslant 0$在间隔$[0, a]$ ($a > 0$)上，使得$f(0) = 0$和$f(x/n) \leqslant f(x)/n$对于每个整数$n \geqslant 1$，证明$f$在点 0处有右导数（反驳论证）。特别是，每个连续超加法函数即 $\geqslant 0$ 都承认在点 0 处有一个右导数。