习题 7, § 4

设$f$是区间$]a,\ b[$上的凸函数，其中$a \geq 0$；证明在这个区间函数 $x \mapsto f(x) - x f'(x)$（点 $x$ 到 $f$ 图的右半切线的“原点坐标”）是递减（如果 $f$ 是严格凸的，则为严格递减）。

推出：

a) 如果$f$在点$a$处承认有限权利极限，则$(x-a)f'_d(x)$在此点处拥有等于0的权利极限。

b) 在$]a,\ b[$上，或者$f(x)/x$是递增，或者$f(x)/x$是递减，或者存在一个$c \in ]a,\ b[$，使得$f(x)/x$在$]a,\ c[$上是递减，在$]c,\ b[$上是递增。

c) 假设$b = +\infty$：证明如果

是有限的，那么$\alpha = \lim_{x \to +\infty} f(x)/x$也是有限的，并且线$y = \alpha x + \beta$是*渐近*$^5$到$f$的图，并且位于该图的*下方（如果$f$是严格凸的，则严格在下方）。