习题 8, § 4

令$f$为有限实数函数，开区间$I \subset \mathbf{R}$上的上半连续。那么$f$是凸的当且仅当$\limsup_{h \to 0, h \neq 0} \frac{f(x+h) + f(x-h) - 2f(x)}{h^2} \geq 0$对于所有$x \in I$。 （首先证明，对于所有 $\varepsilon > 0$ 函数 $f(x) + \varepsilon x^2$ 都是凸的，使用 I、p. 31 的第 9 条命题。）