Bourbaki

习题 15, § 1

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实变函数, II, 82

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

令 f\mathbf{f} 为区间 [0,a][0, a] 上的连续实数函数、严格递增的，并且使得 f(0)=0f(0) = 0；令 gg 为其逆函数，定义并在 [0,f(a)][0, f(a)] 上定义严格递增的，证明

xy≤∫0xf(t) dt+∫0yg(u) du x y \leq \int_0^x f(t) \, dt + \int_0^y g(u) \, du
对于0≤x≤a0 \leq x \leq a和0≤y≤f(a)0 \leq y \leq f(a)，等式仅在y=f(x)y = f(x)（研究xy−∫0xf(t) dtxy - \int_0^x f(t) \, dt的变化）作为xx的函数（yy保持固定）时发生。推断对于 x≥0, y≥0, p>1, p′=p/(p−1)x \geq 0,\ y \geq 0,\ p > 1,\ p' = p/(p-1)，一个人有 xy≤axp+byp′xy \leq ax^p + by^{p'} a>0, b>0a > 0,\ b > 0 和 (pa)p′(p′b)p′≥1(pa)^{p'} (p'b)^{p'} \geq 1。

解答

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