习题 1, § 3

令I为$\mathbf{R}$中的任意区间，令A为集合，g为$I \times A$上定义的有限实数函数，使得对于每个$\alpha \in A$映射$t \mapsto g(t, \alpha)$为递减和$\geq 0$ I；进一步假设存在独立于$\alpha$的数 M，使得$g(t, \alpha) \leq M$位于$I \times A$上。

a) 证明如果$f$是I上的调节函数使得积分$\int_I f(t) \, dt$收敛，则积分$\int_I f(t) g(t, \alpha) \, dt$对于$\alpha \in A$一致收敛（使用第二个均值值定理；cf. II，p. 82，练习 16)。

b) 假设当$t$趋向于$+\infty$时，$I = [a, +\infty[$以及$g(t, \alpha)$一致趋于0（对于$\alpha \in A$）。证明如果$f$是I上的调节函数，并且如果存在数$k > 0$使得$\| \int_J f(t) \, dt \| \leq k$对于I中包含的每个紧区间J，则积分$\int_I f(t) g(t, \alpha) \, dt$对于$\alpha \in A$一致收敛（相同方法）。

c) 假设$I = [a, +\infty[$与$a > 0$、$A = [0, +\infty[$和$g(t, \alpha) = \varphi(\alpha t)$，其中$\varphi$是A上的凸递减、函数和$\geq 0$，趋于0，因为$x$趋于$+\infty$，等等那个$\varphi(0) = 1$。进一步假设$f = h''$，其中$h$是$[a, +\infty[$上的二次可微的函数，并且与$h'$一起有界于此区间。然后积分$\int_a^{+\infty} f(t) \varphi(\alpha t) \, dt$收敛于$\alpha > 0$：表明当$\alpha$趋于0时，它趋向于$-h'(a)$（按部分积分并使用第二个均值值定理）。

d) 取$\varphi(x) = e^{-cx}$，其中$c > 0$，取$a = 1$，对于$f$取复数函数$t \mapsto e^{t \log t}/t$，它是有界函数在I上的导数；证明对于 $c$ 合适的选择，对于 $\alpha > 0$ 绝对收敛的积分 $\int_1^{+\infty} e^{u \alpha t} \frac{e^{t \log t}}{t} \, dt$，当 $\alpha$ 趋于 0 时，不会趋向于任何极限（之后通过部分积分，使变量变换 $\alpha t = u$；使用拉普拉斯变换理论可以看出$\int_0^{+\infty} e^{-cu + t \log u} \, du$对于某些$c > 0$不会消失）。