习题 10, § 3

a) 如果$h, u, v'$是$\mathbf{R}$的开区间]$a, b[$上的实数调节函数的原语，如果$v$是$v'$的原语，并且如果$v(x) > 0$在此区间上，则具有*Redheffer恒等式*

在定义导数的 ]$a, b[$ 的点处。

*b) 令$v, w$为]$a, b[$上的两个函数$> 0$，它们是受监管的函数$v' > 0, w' \leq 0$的原语。从 a) 推导出，对于每个函数 $u$，它是 ]$a, b[$ 上的调节函数 $u'$ 的原语，并且使得 $\liminf_{x \to a, x > a} u(x) = 0$、假设积分 $\int_a^b \frac{w(x)}{v'(x)} {u'}^2(x) dx$ 收敛意味着积分 $\int_a^b \frac{u'(x)}{v(x)} u^2(x) dx$ 收敛还有那个

是有限的，并且不等式 （放入$h = w/v'$，首先观察$\int_c^x dt/h(t) \leq v(x)/w(x)$对于$a < c < x < b$和注，通过柯西-施瓦茨不等式

推断出

然后整合 Redheffer 恒等式。）

c) 从 (*) 推导出，如果 $u$ 是 ]0, 1] 上受管制的函数的原语，如果

如果积分 $\int_0^1 {u'}^2(t)\,dt$ 收敛，则 $\int_0^1 (u(t)/t)^2\,dt$ 也收敛，并且对于所有 $\alpha > 0$ ，有不等式

d) 令$\alpha$为数$> 0$，令K为函数$> 0$，在]0、$+\infty[$上可微且递减且使得$\lim_{x \to +\infty} K(x) = 0$。如果 $u$ 是 ]0、$+\infty[$ 上的调节函数的原语，使得 $\liminf_{x \to 0,\ x > 0} u(x) = 0$，并且如果积分 $\int_0^{+\infty} x^{1-\alpha} K(x){u'}^2(x)\,dx$ 收敛，则函数 $x^{-\alpha} K(x)u^2(x)$ 趋于 0，因为 $x$ 趋于 0 或$+\infty$，整的

收敛，并且有

（在 Redheffer 恒等式中取 $v(x) = x^\alpha,\ h(x) = x^{1-\alpha} K(x)$）。

特别是，对于 $\alpha = \frac{1}{2}$ 和 $K(x) = x^{-1/2}$，有

（哈迪-利特尔伍德不等式）。

e) 令 $\alpha \geq -1$，令 K 为函数 $\geq 0$，可微且在 [0, $+\infty[$ 上递增。假设积分

和

收敛。那么 $K(x)u^2(x)$ 趋向于 0，因为 $x$ 趋于 $+\infty$，并且 1 有

（采用 Redheffer 恒等式中的 $v(x) = \exp(-cx^\alpha)$，以及合适的常数 $c$）。

特别地，如果 $a$ 和 $b$ 是常数，使得 $b + 1 \geq a$ 和 $a + b \geq 0$，则有

如果右侧的积分收敛（广义 H. Weyl 不等式）。

f) 如果 $0 < \alpha < 2$ 和 $u$ 是 $[0, \alpha]$ 和 $u(0) = 0$ 上受管制的函数的原语，则有

（广义*Opial 不等式*）。 （适当涂抹（*），替换$u(x)$到$e^{-x} u(x)$。）

g) 如果 $u$ 是 $[0, b]$ 和 $u(0) = 0$ 上受管制的函数的原语，则

（*Hlawka 的不等式*）（与 f 中的方法相同）。

h) 如果 $u$ 是 $\mathbf{R}$ 上受管制的函数的原语，那么对于所有 $t \in \mathbf{R}$，

如果右侧的两个积分收敛（考虑两个区间$[-\infty, t]$和$[t, +\infty[$；在两个区间上取$v(x) = e^{\alpha x}$，在第一个区间上取$h(x) = 1/\alpha$，在第二个区间上取$h(x) = -1/\alpha$，然后适当地取选择$\alpha > 0$）。