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历史注记

（章I、II、III）

（注意：罗马数字指的是在此注末尾找到的参考书目。）

1604 年，在他科学生涯的顶峰，伽利略相信他已经证明，在直线运动中，速度与运动距离律成正比增加，这正是他在重物体下落中发现的 ($x = ct^2$) (III, v. X, p. 115-116)。 1695 年至 1700 年间，莱比锡每月出版的《博学学报》中，每一卷中都出现了医院侯爵、伯努利兄弟莱布尼茨的回忆录，主要在我们仍在使用的记号中处理微分演算、积分中变化最多的问题演算和演算的变体。因此，在几乎整整一个世纪的时间里，无穷小的演算，或者正如英语结尾所称的，演算 par Excellence（“演算”）被伪造了；近三个世纪的不断使用尚未完全削弱这种无与伦比的仪器。

希腊人既没有拥有也没有想象过类似的东西。毫无疑问，如果他们知道的话，他们会拒绝使用它，巴比伦人的代数演算，他们的几何学的部分可能只是一个转录，因为严格来说，在几何发明领域，他们最辉煌的数学创造力出现了，他们处理问题的方法对我们来说是积分问题演算。欧多克索斯在处理圆锥体和金字塔的体积时，给出了第一个模型，欧几里得或多或少忠实地将其传递给我们（（I），书XII，第7和10条）。但是，最重要的是，阿基米德的几乎所有工作都致力于这些问题（（II）和（II之二））；而且，通过一种奇怪的机会，我们仍然可以在其原始文本中以铿锵有力的多利安方言读到他的著作中最伟大的部分，直到最近重新发现的那本，他在其中阐述了“启发式”程序，通过这些程序他得到了他最美丽的结果之一（（II），第II， p. 425-507）。因为这是欧多克索斯“耗尽”的弱点之一：虽然证明无可挑剔的方法（某些假设已得到商定），但它不是发现的方法；其应用必然依赖于对要证明的结果的先验知识；此外，正如阿基米德所说，“在欧多克索斯首次发现证明的结果中，关于圆锥体和金字塔……，有不少部分可以追溯到德谟克利特，他是第一个在没有证明的情况下陈述它们的人”（前述，p. 430）。这种情况使得对阿基米德的工作进行详细的数学分析特别困难，数学分析说实话，似乎没有任何现代历史学家进行过；因为事实上，我们不知道他对将他所处理的各种问题结合在一起的家庭联系的认识程度（我们用说表达的联系，即相同的积分在不同的几何方面重复出现在许多地方），以及他可能赋予它们何种重要性。对于例，让我们考虑以下问题，第一个由欧多克索斯解决，其他由阿基米德解决：金字塔的体积、抛物线段的面积、三角形重力的中心、阿基米德螺线的面积（极坐标中的$\rho = c \omega$）；这些都取决于积分$\int x^2 dx$，并且在不背离方法穷举精神的情况下，我们可以将约化全部用于形式$\sum_n a n^2$的“黎曼和”的评估。这确实是阿基米德处理螺旋的方式（（II），v.II，p. 1-121），使用引理相当于写作

至于三角形的引力中心，他证明（通过穷举，将分解用作平行条）它位于每个中线上，因此在它们的点同时（（II），v. II，p. 261-315）。 对于抛物线，他给出了三个程序：第一个是启发式的，旨在“使结果具有一定的可信度”，通过静力学的论证，将三角形的引力约化问题转换为中心，在此过程中，他毫不犹豫地将抛物线的线段视为与轴平行的无限多条线段的和 ((II)，v. II, p. 435-439); 另一个方法依赖于类似的原理，但通过详尽的方式完全严谨地起草 ((II)，v. II, p. 261-315);最后一个证明，非常巧妙，但范围较小，利用抛物线的特定性质，给出了几何级数的和面积。 在这些问题和金字塔的体积之间没有任何东西表明关系；甚至有人指出 ((II), v. II，p. 8）关于螺旋的问题与关于球面和旋转抛物面的某些其他观点“没有公共的一样”，阿基米德有机会在同一篇引言中谈到这些，并且其中有人发现一个（抛物面的体积）与约化积分$\int x dx$有关。

从这些例、原理中可以看出，除了特殊技巧之外，穷举的含义如下：通过分解代入“黎曼和”，我们可以得到所检查数量的上界和下界，直接与该数量的表达式进行比较，或者与类似的相应的界限进行比较问题已经解决了。这种比较（在没有否定的数的情况下，必然在两个部分中进行）是通过仪式短语引入的：“如果没有，那么，它会更大或更小；假设，如果可能的话，它会更大，等等；假设，如果可能的话，它会更小，等等。”，从而名称“apagogic”或“通过还原到荒谬” （“ἀπαγωγὴ εἰσ ἀδύνατον”）是XVII$^{th}$世纪的学者赋予方法的。正是在类似的形式中，阿基米德确定了螺旋线的切线是集合（（II），v.II，p. 62-76），这是一个孤立的结果，也是除了相对容易确定螺旋线的切线之外，我们必须引用的唯一一个“微分演算”的古老来源。二次曲线，以及一些关于最大值和最小值的问题。事实上，如果在涉及“整的”的问题上，不仅通过体积论，而且通过静力学和流体静力学向希腊数学家提供了巨大的域或研究，那么由于缺乏运动学，他们几乎没有机会认真解决微分问题。阿基米德确实给出了他的螺旋线的运动学定义；并且，在不知道如何引导他了解其切线的情况下，人们有权询问他是否有合成运动的概念。但既然如此，他岂不会将如此强大的方法应用到其他同类的问题上吗？更有可能的是，他一定使用了一些经过到极限的启发式程序，他所知道的圆锥曲线的结果可能表明了这一点；当然，这些本质上更简单，因为我们可以计算直线和圆锥曲线的交的构造点，因此对于这些点到重合，可以计算确定条件。至于切线的定义，后者被认为是一条直线，在曲线的某个点的邻域中，曲线完全在一侧；假设其存在，并假设每条曲线都是由凸弧组成；在这些条件下，要证明直线与曲线相切，就必须证明某些不等式，这当然是以最完全的精度完成的。

From the point of view of rigour, the methods of Archimedes leave nothing to be desired; and, even in the XVII$^{th}$ century, when the most scrupulous mathematicians wished to put a result judged to be particularly delicate entirely beyond doubt, it was an "apagogic" proof that they gave for it ((XI $a$) and (XII $a$)). 至于他们的丰硕成果，阿基米德的著作足以证明。 但要有权在那里看到“积分演算”，就必须通过几何外观的重数，根据底层“整的”的性质展示一些问题分类的草图。 在XVII$^{th}$世纪，我们将看到，对这种分类的探索逐渐成为几何学家的主要关注点之一。如果人们在阿基米德身上找不到踪迹，这难道不表明这样的推测对他来说似乎过于“抽象”，相反，他在每一次都刻意地尽可能接近他所研究的人物的具体属性？ 而且，我们难道不应该结论认为，根据其创造者的说法，积分演算完全是从这个精彩的作品中得出的，在某种程度上与积分演算相反吗？

此外，在数学中，人们可以让发现和证明之间出现一条沟渠，这并非不受惩罚。 在有利的时期，数学家只要不放弃严谨性，只需把他的想法写下来，几乎就像他所设想的那样。 有时他甚至可能希望通过对公认语言和记号的适当调整来做到这一点。 但他常常不得不在不正确的、虽然也许富有成果的阐述方式和正确的方法之间做出选择，而正确的方法不允许他表达自己的思想，除非扭曲它，并付出艰苦的努力。 这两种方式都没有危险。 The Greeks followed the second, and it is there, perhaps, even more than the sterilising effect of the Roman conquest, that one must seek the reason for the surprising arrest of their mathematics almost immediately after its most brilliant flowering. 有人提出，阿基米德和阿波罗尼乌斯的继承者的口头教学一定包含许多新的结果，但他们并不认为有必要付出巨大的努力来按照公认的标准出版，这并非令人难以置信。 无论如何，这些顾虑并没有阻止XVII$^{th}$世纪的数学家，当时之前新问题的群体出现了，他们在阿基米德的著作中孜孜不倦地寻找克服这些顾虑的方法。

虽然希腊文学和哲学的伟大经典都是由阿尔杜斯·马努提乌斯（Aldus Manutius）和他的追随者在意大利印刷的，而且几乎全部都是 1520 年的之前 ，但直到 1544 年，阿基米德的第一版希腊语和拉丁语才问世 $^4$ ，由赫瓦吉乌斯在巴莱印刷，在此之前没有任何拉丁语版本；而且，当时的数学家（他们被代数研究所吸引）并没有立即感受到这种影响，人们必须等待伽利略和开普勒，他们都是天文学家和物理学家，而不是数学家，这种影响才会变得明显。从那时起，一直到大约 1670 年，在无穷小演算的创始人的著作中，没有一个名字像阿基米德那样频繁出现。许多人翻译了他并为他准备了评论；从费马到巴罗，所有人都不加区别地引用了他。所有人都声称在那里找到了榜样和灵感来源。

诚然，正如我们将要看到的，这些声明不能完全按字面意思理解。人们在这里发现了阻碍正确解释这些著作的困难之一。历史学家还必须考虑到此时科学世界的组织，在XVII$^{th}$世纪初仍然非常有缺陷，而到了那个世纪末，通过学术团体和科学期刊的创建，通过大学的巩固和发展，它最终与我们今天所知道的非常相似。直到 1665 年，数学家们还没有任何期刊，除了通过写信或印刷一本书之外，他们没有办法让他们的工作为人所知，通常是自费，或者如果他们能找到的话，则由一些梅塞纳斯出资。能够从事此类工作的编辑和印刷人员很少见，有时不可靠。 之后此类出版物涉及的长期拖延和无数的麻烦，作者经常要面对由并不总是真诚的对手引发的无休止的争议，并且有时以令人惊讶的尖刻语气进行追求：因为，在无穷小演算的原理普遍存在不确定性的情况下，它不是任何人都很难在竞争对手的论点中找到薄弱的点，或者至少是晦涩难懂且有争议的点。人们知道，在这种情况下，许多重视安静的学者满足于将他们的方法和结果传达给少数选定的朋友。有些人，尤其是一些科学爱好者，例如巴黎的梅森和后来伦敦的柯林斯，对每个国家都保持着巨大的对应，他们到处传播其中的摘录，而不是在这些摘录中混入他们自己发明的错误。 “方法”的拥有者，由于缺乏概念和一般的定义，他们既无法起草定理的形式，甚至无法准确地制定，数学家们沦落为

$^4$ 阿基米迪歌剧 quae quidem 现存的omnia，nunc primus et gr。等。编辑。 。 。巴西莱亚，乔.赫瓦吉乌斯，1544 年，第一卷。 in-foll。

在大量数的特定案例中测试他们，相信他们无法比向同事提出挑战更好地衡量自己的实力，有时并用编码语言发布他们自己的结果。勤奋好学的年轻人旅行的次数可能比现在更多。一个学者的思想通过他的学生的旅行会比通过他自己的出版物传播得更多有时，但仍然存在另一个引起误解的原因。最后，由于许多数学家自然而然地想到了同样的问题，其中一些人非常杰出，但对另一些人的结果却知之甚少，所以优先权的主张不可能不不断出现，而抄袭的指控也并不罕见。

因此，历史学家必须在当时学者的信件和私人论文中寻找文献，几乎与他们的出版物本身一样多，甚至更多。 But while those of Huygens, for example, have been preserved and made the object of an exemplary publication (XVI), those of Leibniz have not yet been published except in a defective and fragmentary manner, and many others are lost beyond recall. 至少，基于数学分析手稿的最新研究以一种似乎无可辩驳的方式提供了证据，点几乎被党派争吵掩盖了：每次一位伟大的数学家在报告他自己的工作、他的思想的演变、影响他的因素和没有影响他的因素时，他都是以诚实和真诚的方式这样做的，诚信$^5$；这些宝贵的证词，我们拥有相当多的数，因此可以完全放心地使用，历史学家不必变换自己成为这里的预审法官。 对于其他人来说，大多数优先级问题完全没有意义。 确实，当莱布尼茨采用记号$dx$作为“微分”时，他并不知道牛顿已经使用$\dot{x}$作为“流数”大约十年了：但如果他知道呢？ 更具启发性的是例，定理$\log x = \int dx/x$的作者是谁，它的日期是什么？ 我们刚才写的公式是莱布尼茨的功劳，因为项都写在他的记号中。 莱布尼茨本人和沃利斯将其归功于格雷瓜尔·德·圣文森特。 后者在他的《几何作品》（IX）（出现于 1647 年，但他说是由长之前组成）中仅证明了以下等价物：如果$f(a, b)$表示双曲线段$a \leq x \leq b,\ 0 \leq y \leq A/x$的面积，则关系$b'/a' = (b/a)^n$意味着$f(a', b') = n\ f(a, b)$；对此，他的学生兼评论员萨拉萨几乎立即补充了注$^6$，因此面积$f(a, b)$可以“代替对数”。 如果他对此不再多言，如果格雷瓜尔本人也什么也没说，这难道不是因为，对于当时的大多数数学家来说，对数还只是“计算的辅助手段”，还没有被自然化，没有权利在数学中被引用？ 确实，托里切利在 1644 年的一封信（VII之二）中谈到了他的研究在一条我们将写为$y = a e^{-x^2},\ x \geq 0$的曲线上，并补充说纳皮尔（他还赞扬了纳皮尔）“只追求实用”

5 这适用于托里拆利的例（参见 (XII), v. VIII、p. 181-194) 和莱布尼茨 (D Mahnke, Abh. 普鲁士。 阿卡德。威斯康星州，1925 年1，柏林，1926 年）。 当然，这并不是说数学家不能对其想法的原创性抱有幻想；相反，但他们并不是最大的最容易在这方面欺骗自己的人。 6 解决问题。 。 。 奥克托·P·阿方索·安东尼奥·德·萨拉萨。 。 。 安特卫普，1649 年。

算术”，而他自己“从中得出了几何学的推测”；他留下了一份手稿，显然准备出版，在这条曲线上，虽然直到1900年才出版（（VII），v. I，p. 335-347）。 此外，笛卡尔在 1639 年左右就“德博恩的问题”遇到了相同的曲线，并在没有提及对数的情况下描述了它（（X），v. II，p. 514-517）。 不管怎样，J. 1667 年，格列高利在没有引用任何人的情况下给出了通过（十进制）对数计算双曲段面积的规则（(XVII a)，在 (XVI bis), p. 407-462 中重现）：这立即意味着双曲线求积和对数之间联系的理论知识，以及数值计算了解“自然”对数和“十进制”对数之间的联系。 惠更斯的主张是否仅适用于最后一个点，直接质疑格雷戈里结果（XVIa）的新颖性？ 我们和他们同时代的人一样清楚这一点。这些人在每种情况下都给人一种清晰的印象，即对数与双曲线求积之间存在联系早已为人所知，除了书信典故之外，无法参考任何其他内容，甚至无法参考格雷瓜尔·德·圣文森特的书。 1668 年，当 Brouncker 给出 log 2 和 log(5/4) 的级数（与几何级数）（XIV相比，具有细致的证明收敛性）时，他将它们表示为双曲线的相应的段的表达式，并补充说，他获得的数值值是“与 2 和 5/4 的对数具有相同的比率”。 但同年，随着墨卡托（XIII）（或者更准确地说，沃利斯立即对墨卡托（XV之二）的作品进行阐述），语言发生了变化：因为双曲线的段与对数成正比，并且因为众所周知，对数仅由其特征属性定义，直到常数因子，所以没有什么可以阻止人们考虑双曲线的段作为对数，称为“自然”（与“人工”或“十进制”对数相对）或双曲；最后一步（墨卡托给出的 log(1 + x) 的级数对此做出了贡献），获得了定理$\log x = \int d.x/x$，直到记号，或者更确切地说，它甚至变成了定义。 结论，如果不是这个发现是通过几乎难以察觉的转变而做出的，而且这个问题上的优先权争议非常类似于小提琴和长号之间关于交响乐中某个主题出现的确切时刻的争吵，那又怎么样呢？ 说实话，尽管其他数学创造，费马的算术，牛顿的运动学，都带有强烈的个人印记，但它是一部逐渐且不可避免的交响曲，“时代精神”，同时是作曲家和指挥家，接过指挥棒，XVII$^{th}$世纪无穷小演算的发展提醒人们：每一个他用自己特有的音色来演奏他的部分，但没有人是他所听到的主题的大师，这些主题几乎与学术对位法密不可分地纠缠在一起。 因此，必须在主题数学分析的形式下书写历史；我们将满足于这里的概要草图，而不会假装精确⁷。 无论如何，以下是表面检查中出现的主要主题：

A）数学严谨性的主题，与无限小、不可分或微分的主题形成鲜明对比。我们已经看到，这两点在阿基米德的著作中都占有重要的地位，第一点在他的全部著作中，第二点在他唯一的关于方法的论文中，这是XVII$^{th}$世纪所不知道的，所以如果它是被传承而不是被重新发明，那只能是通过哲学传统。此外，无限小的原理出现在两个不同的形式中，因为它涉及“微分”或“整合”。对此，首先假设计算一个平面区域：将除通过无穷多个等距平行线将其除分成无穷多个无穷小的平行条带；每个条带都是一个矩形（即使使用有限距离的两条平行线获得的虽然有限条带也不是矩形）。类似地，一个旋转体将被垂直于轴 $^8$ 的平面分解为无数个具有相同无限小高度的圆柱体；当用并列线将一个区域分解为三角形时，或者将曲线的弧线分解为推理约长度时，就好像它是具有无限多条边的多边形，等等。可以肯定的是，少数掌握阿基米德方法的数学家，例如费马、帕斯卡、惠更斯、巴罗，在每种特定情况下都不会发现替换严格证明使用该语言有任何困难；他们还经常注认为这种语言只是一种简写。费马说：“按照阿基米德的方式给出证明之后是很容易的；……在阶中一劳永逸地警告以避免不断重复就足够了……”（（XI），v.I，p. 257）；类似地，帕斯卡：“因此，除了说话方式之外，这些方法中的一个与另一个没有什么不同”（(XII b), p. 352)⁹；巴罗则用他讽刺的简洁语气说道：“longior discursus apagogicus adhiberi possit, sed quorsum?” （人们可以通过一种虔诚的话语来延长这一时间，但有什么好处呢？）（（XVIII），p. 251）。费马似乎对提出他无法如此证明的东西持谨慎态度，因此谴责自己除了通过暗示或在“方法”的形式下不陈述任何一般结果：巴罗虽然非常小心，但有点不那么谨慎。对于他们的大多数同时代人来说，至少可以说，严谨并不是他们主要关心的问题，阿基米德这个名字通常只是一个帐篷，旨在覆盖无疑价格昂贵的商品，但对于这些商品来说，

⁷ 在下文中，将结果归属于这样的作者、这样的日期，仅表明他在该日期知道该结果（已尽可能通过检查原始文本来验证）；我们并不是想绝对肯定该作者之前不知道它，或者他不是从其他人那里收到的；我们更不想说，无论是更早还是更晚，其他人都可能无法独立获得相同的结果。 ⁸ 参见例帕斯卡在他的“给M. de Carcavy 的信”中的阐述（XII b）。人们会认为注，得益于一种无与伦比的语言的威望，帕斯卡成功地创造了完美清晰的幻觉，到点，他的一位现代编辑对“证明的精确度中的细致和精确”感到欣喜若狂！ ⁹ 但是，在给 A.D.D.S. 先生的信中：“……不停歇，既不是方法运动，也不是不可分割的运动，而是遵循古人的运动，以便事情从此变得牢固而无可争议”（（XIIa），p. 256）。

阿基米德肯定不会承担责任。 当人们处理差异化问题时更是如此。 如果把要矫正的曲线比作一个无限多边的多边形，那么它就是曲线的一个“无限小”弧，它被比作一个“无限小”线段，要么是弦，要么是假定存在的切线段；或者，它是一个“无限小”的时间间隔，在此期间（当我们只处理速度时）运动“是”均匀的；更大胆的是，笛卡尔想要确定摆线的切线，这没有被他的一般规则所涵盖，他将在另一个上滚动的曲线同化为多边形，从而推断“在无限小的情况下”，运动可以被同化为围绕点接触的旋转（（X），v. II，p. 307-338）。 再次，费马在这种无穷小的考虑中基制定了切线和最大值和最小值的规则，能够在每种特定情况下证明它们的合理性（（XIb）；cf.还有（XI），v.1）。 II、passim，特别是p. 154-162，以及 Suplément aux Œuvres (Gauthier-Villars, 1922)、p. 72-86)； 巴罗以古人的方式，从单调性和凸性的简单假设开始，为他的许多定理之后给出了精确的证明。 但现在已经不是旧皮囊里注入新酒的时候了。 正如我们今天所知，在这一切中，正在详细阐述的是概念或极限；而且，如果我们能够从帕斯卡、牛顿以及其他人那里提取出看起来与我们现代的定义非常接近的叙述，那么我们只需要把它们放回各自的语境中，就能察觉到阻碍严格阐述的不可克服的障碍。 从XVIII$^{th}$世纪开始，当一些关心清晰度的数学家希望将一些阶放入他们混乱的财富堆中时，前人著作中的这些指示对他们来说是宝贵的；当达朗贝尔对例解释说，除了极限的概念之外，微分中没有其他东西，并准确地定义了这一点（XXVI）时，我们可以相信他受到了牛顿关于“数量消失的第一个和最后一个原因”（XX）的思考的指导。 但是，就XVII$^{th}$世纪而言，非常有必要指出的是，现代数学分析的道路并未敞开，除非牛顿和莱布尼茨背弃了过去，暂时同意寻求新方法的合理性，不是在严格的证明方面，而是在结果的丰硕性和连贯性方面。

B）运动学。 人们已经看到，阿基米德已经给出了他的螺旋线的运动学定义；在中世纪，人们发展出了一种关于时间的函数及其图形表示的基本数量变化理论（但没有相反的证据，没有无限小的考虑），人们或许可以追溯到巴比伦天文学。 但对于XVII$^{th}$世纪的数学来说，具有最大的重要性的是，从一开始就出现了问题微分，不仅涉及切线，还涉及速度。 然而，伽利略（（III）和（III之二））在研究重体下落速度的律（之后从斜面上的实验中获得距离$x = at^2$的律）时，并没有通过微分进行：他对速度做出了各种假设，首先是$v = dx/dt = cx$ ((III)，v. VIII，p 203），然后是$v = ct$（id.，p. 208），并试图以一种相当晦涩的方式恢复推理距离的律，关于速度图作为时间的函数； 笛卡尔（1618 年）对律 $v = ct$ 进行了类似的论证，但作为一名真正的数学家，并在不可分的语言允许的范围内尽可能清晰地论证了 $^{10}$ ((X)，v. X, p. 75-78);在这两种情况下，速度图（在本例中是一条直线）起着主要作用，人们可能会问到点他们知道行驶距离与时间轴和速度曲线之间包含的面积之间的比例；但很难对这个点作出任何肯定，即使是虽然，笛卡尔的语言似乎也暗示了对所讨论事实的认识（某些历史学家希望追溯到中世纪$^{11}$），尽管伽利略没有明确提及这一点。 巴罗在 1670 年明确指出了这一点 ((XVIII), p. 171)；也许这对当时的任何人来说都不是什么新鲜事，巴罗也没有这样介绍它。但是，对于这个结果来说，就像对于任何另一个一样，如果人们试图过于精确地确定日期的话。 As for the hypothesis $v = cx$, also envisaged by Galileo, he contented himself (loc. cit.) with proving that it is untenable (or, in modern language, that the equation $dx/dt = cx$ has no solution $\neq 0$ which vanishes for $t = 0$), by an obscure argument which Fermat later ((XI), v. II，p. 267-276）不厌其烦地开发（并且接近于说，如果$x$是$2x$是解，$x \neq 0$将与物理上明显的唯一性或解相反）。 但正是这个律 $dx/dt = cx$，在 1614 年帮助纳皮尔介绍了他的对数，为此他给出了运动学定义 (IV)，并且在我们的记号中，将写成如下：如果在两条直线上，两个运动物体按照律 $dx/dt = a,\ dy/dt = -ay/r,\ x_0 = 0,\ y_0 = r$ 运动，然后有人说$x$是$y$的“对数”（现代的记号、$x = r \log(r/y)$）。 我们已经看到，$dy/dx = c/x$的解曲线出现在笛卡尔的1639年，笛卡尔用运动学的方式描述了它（（X），v. II, p. 514-517);确实，他相当轻蔑地将所有非代数曲线归类为“机械”曲线，并声称将它们排除在几何之外。但幸运的是，这个禁忌并没有被他的同时代人以及笛卡尔本人所遵守，莱布尼茨在很久以后仍然相信他必须强烈抗议这一禁忌。 摆线和对数螺线的出现，引起了人们的广泛研究，它们的研究有力地促进了几何学和运动学方法的相互渗透。 运动的合成的原理，更准确地说是速度的合成，是伽利略在他晚年的杰作《1638 年的*Discorsi*》中阐述的射弹运动理论的基 (((III)，v. VIII，p. 268-313），因此包含隐含着抛物线切线的新确定；如果伽利略没有明确地注这一点，托里拆利，另一方面（VII），v。 III，p. 103-159）坚持这个点，并在这个原理的基础上建立了一个通用的方法，用于确定可以给出运动学定义的曲线的切线。 确实，罗伯瓦尔 (VIII a) 早在几年前就阻止了他的研究，后者说他是通过对摆线的研究而得出这一方法的。与 的切线相同的问题

$^{10}$ 笛卡尔甚至添加了一个有趣的几何论证，通过该论证，他从假设 $dv/dt = c$ 推导出律 $x = at^2$。另一方面，讽刺的是，十年后，看到他混淆了他的注，并为梅森的副本在同一问题上使用了错误的论证，其中时间函数的速度图与行驶距离的函数图混淆了（（X），v.I，p. 71）。 $^{11}$ H. Wielietner，Der “Tractatus de latitudinibus formarum” des Oresme，*圣经。马太福音* (III)，第 13 卷 (1912)，p. 115-145。

此外，摆线给了费马展示他的微分法方法的幂的机会（（XIb），p. 162-165），而笛卡尔无法在这里应用他的代数方法，因此发明了瞬时旋转中心（（X），v.1）。 II，p. 307-338）。

但是，随着无穷小演算的发展，运动学不再是一门独立的科学。 人们越来越多地看到，尽管笛卡尔有代数曲线和函数，但从“局部”点的观点来看，无穷小演算的观点，没有任何东西可以将它们与其他更一般的曲线区分开来； 函数和具有运动学定义的曲线是函数，并且与其他曲线一样，也适用于相同的方法；而变量“时间”只是一个参数，其时间方面纯粹是语言问题。 因此，对于惠更斯来说，即使当他研究力学时，也是几何学占主导地位（XVI b）；莱布尼茨在他的演算中并没有赋予时间任何特权角色。 相比之下，巴罗从各种量的同时变化（作为被视为“时间”的独立通用变量的函数）设计出具有几何趋势的无穷小演算的基础。 当他试图恢复运动的合成中的方法时，他一定想到了这个想法，他只是通过道听途说才知道这些运动的存在，在他的《几何学说》（XVIII）的前三本中，以非常清晰和强烈的项详细地阐述了这一想法；在那里，对于例，他仔细地证明，如果移动点在两个矩形轴AY、AZ上具有投影，移动点，其中一个以恒定速度$a$移动，另一个以随时间增加的速度$v$移动，则轨迹具有梯度等于$v/a$的切线。且朝递增 Z 方向凹。 在《选集》的其余部分中，他对这些思想进行了深入的研究，尽管他在形式中从头到尾都尽可能地用几何和很少的代数来起草它们，但人们可能会在那里看到，与雅各布·伯努利（（XXIII），v. I、p. 431 和 453），相当于牛顿和莱布尼茨的无穷小演算的好部分。 牛顿的出发点点完全相同（（XIXc）和（XX））：他的“流数”是各种量，“时间”的函数只是一个通用参数，“流数”是它们相对于“时间”的导数；牛顿允许自己根据需要改变参数的可能性同样存在于巴罗的工作中，他对虽然的使用不太灵活12。 因此，牛顿采用的流变语言，并以其权威强加给下个世纪的英国数学家，代表了我们所讨论的时期运动学方法的最后前哨，其真正的作用现在已经结束。

12 关于巴罗和牛顿之间的关系，参见奥斯蒙德、艾萨克·巴罗，他的一生和时间，伦敦，1944 年。在 1663 年的一封信中（cf. St. P. Rigaud，对应 of science men ..., Oxford, 1841, vol. II, p. 32-33），Barrow 说道他的思想已经很老了，关于运动的合成，这使他对切线产生了非常笼统的定理（如果是Lect.Geom.，Lect.X（XVIII），p. 247），它是如此笼统，以至于它实际上是包含作为一个特殊情况，迄今为止在这个主题上所做的一切）。另一方面，牛顿在1664年和1665年是巴罗的学生，但他说他独立获得了从“流线”之间的关系推导出它们的“流线”之间的关系的规则。牛顿很可能从巴罗的教学中获得了关于数量随时间变化的函数及其变化速度的一般概念，而他对动力学的思考（巴罗肯定对此完全陌生）很快就帮助澄清了这些概念。

C) 代数几何。这是一个寄生的主题，对我们的主题来说是一个陌生的主题，笛卡尔以其系统的态度声称使代数曲线成为几何的唯一对象（（X），v.VI，p. 390）；此外，它是代数几何的方法，而不是像费马那样，他给出的用于确定切线的微分演算的方法。古人遗留下来的关于直线和二次曲线的交的结果，笛卡尔本人关于两个二次曲线的交的思想，以及约化对它们的问题的思想，将使他完全自然地想到将两个交重合作为接触标准的想法：我们今天知道，在代数几何中，这就是正确的标准，并且具有如此广泛的普遍性，以至于它独立于极限的概念和“基域”的性质。笛卡尔首先以一种不太方便的方式应用它，试图在所研究的曲线上制作两个交，并在给定的点处在Ox重合上制作一个具有中心的圆（（X），v.VI，p. 413-424）；他的学生 van Schooten Hudde 用直线代替圆，得到了曲线切线的梯度

在形式$-F'_x / F'_y$中，“导出多项式”$F'_x, F'_y$由其形式形成规则定义（（Xbis），v.I，p. 147-344和（XXII），p. 234-237）； de Sluse 大约在同一时间也得出了这个结果 ((XXII), p. 232-234)。当然，我们注这里的明确区别，仅凭这些区别就赋予笛卡尔和费马之间的争论以任何方式，不可能以任何方式存在于XVII$^{th}$世纪的数学家的头脑中：我们提到它们只是为了澄清与我们有关的历史中最奇怪的事件之一，以及注几乎直接的代数方法完全消失，暂时被微分方法吸收。

D) 问题的分类。我们已经看到，这个主题似乎在阿基米德的著作中并不存在，无论他是直接解决问题还是将其简化为已经处理过的问题，对他来说并不重要。在XVII$^{th}$世纪问题，微分首先出现在三个不同的方面：速度、切线、最大值和最小值。对于最后这些，开普勒（V）观察到（人们已经在奥雷斯梅$^{13}$中发现了这一点，甚至连巴比伦天文学家也没有逃过）函数的变化在最大值邻域中特别缓慢。费马已经于之前 1630 ((XI bis); cf. (XI), v. II, p. 71) 开创了他的无穷小方法建议这些问题，用现代语言来说相当于检查前两个泰勒展开的项（常数项和第一个阶项），并写出第二个在极值处消失；他继续将扩展他的方法用于确定切线，甚至将其应用于寻找变形的点。如果考虑到上面关于运动学的内容，就会发现关于一阶导数的这三个型和问题的统一很早就完成了。至于问题关于

$^{13}$ H. WIELEITNER，Der “Tractatus de latitudinibus formarum” des Oresme，圣经。垫。 (III)，第 13 卷 (1912)，p. 115-145，特别是p. 141。

二阶导数，直到后来才出现，尤其是惠更斯关于曲线的渐进线的著作（于 1673 年在他的《Horologium Oscillatorium》（XVI b）中发表）；此时，牛顿凭借他的流数，已经拥有了解决此类问题所需的所有分析工具；而且，尽管惠更斯在其上花费了所有的几何才能（后来的微分几何在其开始时就受益匪浅），但在我们讨论的时期内，它们除了让新的数学分析宣告其工具的幂之外，没有任何其他作用。

至于积分，希腊人出现了面积、体积、力矩的计算，以及圆的周长和球面段面积的计算：XVII$^{th}$世纪在其中添加了曲线校正、旋转曲面面积的计算，以及（惠更斯在复摆上的工作（XVI） $b$)) 转动惯量的计算。首先要认识到所有这些问题之间的联系。对于面积和体积，卡瓦列里在他的《不可分割几何》（VI$a$）中迈出了第一步。在那儿，他陈述并声称证明了或多或少的原理：如果两个平面面积使得每条平行于给定方向的线将它们切割成段，并且比例恒定，那么它们的面积比例相同；类似的原理表示由平行于固定平面的平面在尺寸为恒定比率的区域中所切割的体积。这些原理很可能是由定理向卡瓦列里建议的，例如欧几里得（或更确切地说是欧多克索斯）关于相同高度金字塔体积之比的建议，而之前以一般方式陈述它们，他首先在阿基米德的数和例上验证了它们的有效性。他通过使用一种语言来“证明”它们的合法性，人们可以在 1621 年的一封信中看到他在一封信中质疑伽利略的合法性，尽管他早在 1622 年就毫不犹豫地使用了这种语言（(III), v. XIII、p. 81 和 86），而这就是其中最重要的部分。考虑例两个区域

一个$0 \leq x \leq a,\ 0 \leq y \leq f(x)$，另一个$0 \leq x \leq a,\ 0 \leq y \leq g(x)$；

纵坐标$\sum_{k=0}^{n-1} f(ka/n),\ \sum_{k=0}^{n-1} g(ka/n)$的和的比率，对于$n$足够大来说，已经尽可能接近两个面积的比率，并且当$f$和$g$单调时，甚至不难通过穷举来证明这一点； 卡瓦列里传递到极限，制作$n = \infty$，并谈到第一条曲线的“所有纵坐标的和”，它与第二条曲线的类似和的比率严格等于它们的面积之比；体积相同；这种语言后来被普遍采用，甚至被像费马这样的作者所采用，他们对它所涵盖的确切事实有着最清晰的认识。 确实，后来许多数学家，例如罗伯瓦尔（VIII$a$）和帕斯卡（XII$b$）更愿意看到，在曲线的纵坐标中，形式是“和”，而不是像卡瓦列里那样的线段，而是宽度相同无限小的矩形，即与点的严谨性相比，并没有太大的进步（无论罗伯瓦尔怎么说），但也许可以防止想象力太容易偏离轨道。 无论如何，由于只处理比率，所以在最后的数学分析中，曲线$y = f(x)$的“所有坐标的和”，或者简而言之，曲线的“所有坐标”，正如它也出现在帕斯卡的著作中一样，与莱布尼茨的$\int y\, dx$完全相同。

从卡瓦列里采用的语言中，不可避免地会出现上述的原理，并且也立即暗示我们将在现代的记号中陈述的推论，因为理解了$\int f\, dx$仅表示Ox和曲线$y = f(x)$之间包含的面积。首先，长度为$f(x)$的段和中的每条线$x =$常数所切的每个平面面积等于$\int f\, dx$；对于每个平面 $x =$ 常数在测量面积 $f(x)$ 中切割的每个体积也是如此。此外，$\int f\, dx$线性依赖于$f$；我们有$\int (f + g)\, dx = \int f\, dx + \int g\, dx$，$\int cf\, dx = c \int f\, dx$。特别是，所有问题的面积和体积都化简为求积，即计算形式$\int f\, dx$的面积；而且，也许新颖且更重要的是，我们必须将依赖于相同正交的两个问题视为等效，并且在每种情况下都有工具来决定是否如此。希腊数学家从未达到（或者也许永远不会同意达到）这样的次数“抽象”。因此，((VI)，p. 133)卡瓦列里很容易地“证明”两个相似的体积是相似比的立方之比，而阿基米德仅在他的这些固体理论的最后才对旋转二次曲线和它们的段阐述了这一结论((II)，v.p. 258)。但要达到这个点，就必须抛弃阿基米德的严格性。

因此，人们有办法对问题进行分类，至少是暂时地，根据次数对约化求积所呈现的实际或明显的困难。这就是当时的代数充当模型的地方：因为在代数以及几何中出现的代数问题中，尽管希腊人只对解感兴趣，但XVI$^{th}$和XVII$^{th}$世纪的代数学家已经开始转向他们的研究方向。主要关注问题根据可能用于解决问题的工具的性质进行分类，从而预见了现代代数理论扩张；他们不仅根据他们所依赖的方程的次数对问题进行了第一次分类，而且已经对可能性提出了困难的问题：用根式解出每个方程的可能性（许多人不再相信）等等（参见II书的历史注记，第V章）；他们还专注于将给定次数的所有问题减少到几何型的形式。同样，在卡瓦列里的积分演算原理中，他能够立即认识到阿基米德约化将许多问题解为$n = 1, 2, 3$的求积$\int x^n\, dx$；他设计了一种巧妙的方法，可以按照人们的意愿对$n$中的任意多个值进行求积（通过同质性，方法相当于注意到，$\int_0^{2a} x^n\, dx = c_n a^{n+1}$），并写成

由此，在展开时，可以得到 $c_n$ ((VI a), p. 159 和 (VI b), p. 269-273) 的递归关系。但费马已经走得更远，首先（之前 1636）证明$\int_0^a x^n\, dx = \frac{a^{n+1}}{n+1}$代表$n$正整数（（XI），v.II，p. 83），通过公式代表和第一个 N 整数的幂（从阿基米德的螺旋求积法复制的过程），然后将这个公式扩展到所有有理数 $n \neq -1$ ((XI), v. 1, p. 195-198)；直到很久以后，他才起草了最后结果的证明（1644年传达给卡瓦列里），之后阅读了帕斯卡关于积分的著作[^1]（XIc）。

这些结果，加上用变换代替变量的几何考虑以及用部分积分，已经允许人们求解问题的大数，即约化到初等求积。除此之外，我们第一次遇到了圆和双曲线的求积：因为此时处理的首先是“不定积分”，所以这些问题中的解，在现代的项中，分别由反三角函数函数和对数提供；这些都是以几何形式给出的，我们已经看到后者是如何逐渐引入数学分析的。这些正交构成了格雷瓜尔·德·圣文森 (IX)、惠更斯 ((XVI c) 和 (XVI d))、沃利斯 (XV a)、格雷戈里 (XVII a) 等众多作品的主题；第一个相信他已经完成了圆的求积，最后一个相信他已经证明了$\pi$的超越性；他们开发了圆和对数函数的不定近似过程，有些具有理论倾向，其他则面向数值演算，很快，牛顿（（XIXa）和（XIXb）），墨卡托（XIII），J.格雷戈里（XVIIbis），然后莱布尼茨(XXII)，来到级数展开将军方法。在每一种情况下，人们都逐渐相信所讨论的求积是“不可能的”，也就是说，他们所定义的函数的非代数特征标 ；与此同时，当问题被简化为“不可能”的求积之一时，人们通常认为它在其性质允许的范围内已得到解决。对于摆线上的例和问题，就是这种情况，通过三角函数函数求解，并通过抛物线校正，简化为双曲线的求积。

矫正的问题，我们刚刚引用了其中最著名的两个，具有特别重要的意义，因为它们在它们所预设的微分和它们所依据的整合之间形成了自然的几何过渡；人们可以将它们与旋转曲面区域上的问题联系起来。古人只讨论圆和球的情况。这些问题在XVII$^{th}$世纪很晚才出现；看来，椭圆形（被认为是最简单的曲线之后圆）的矫正在当时是难以克服的困难，阻碍了人们的努力。运动学方法对这些问题进行了一些购买，并允许罗贝瓦尔（VIIIb）和托里拆利（（VII），v.III，p. 103-159）在1640年至1645年间获得关于螺旋弧的结果；但直到 1660 年之前，它们才成为当时的阶； 1658 年，Wren 对摆线进行了修正（(XV), v. I, p. 533-541）；稍后，由不同作者提出的曲线$y^3 = ax^2$ ((XV), v. I, p. 551-553; (X bis), p. 517-520; (XI d))，还有其他一些人 ((XI), v. I, p. 199; (XVI), v. II, p. 224) 将抛物线的校正减少到双曲线的正交（也就是说，减少到代数对数函数）。最后的例是最重要的，因为它是一般原理的特例，曲线$y = f(x)$的校正只不过是$y = \sqrt{1 + (f'(x))^2}$的求积； Heurat 确实是从这个原理推导出来的。追随年迈的费马在曲线 $y^3 = ax^2$ (XI d) 的研究中所做的尝试也同样有趣；与弧 $s = g(x)$ 的曲线 $y = f(x)$ 相关联，并与曲线 $y = g(x)$ 相关联，并确定从第一条切线到该曲线的切线（用现代语言，他表明它们的梯度 $f'(x)$、$g'(x)$ 由关系连接）

人们认为自己非常接近 Barrow，只需将此结果与 Heurat 的结果结合起来（这或多或少与 Gregory 在 1668 年所做的一样（(XVII bis), p. 488-491)）即可获得切线和正交之间的关系；但费马仅指出，如果两条曲线均参考矩形轴系统，则在点处具有相同横坐标的切线始终具有相同的梯度，则这两条曲线是相等的，或者，在其他字中，$f'(x)$确定$f(x)$的知识（最多为常数）；他只是通过一个没有证明性的晦涩论证值来证明这个断言的合理性。

不到十年后，巴罗的*Lectiones Geometricae*（XVIII）问世了。从一开始（讲座I），他在原理中指出，在直线运动中，距离与时间轴和速度图之间包含的面积$\int_0^t v \, dt$成正比。人们会期望他能由此推导出被视为切线梯度的导数与被视为面积的积分之间的联系，并从他在确定切线时已引用的运动学方法推导出来；但这些都不是，他后来以纯粹的几何方式（（XVIII），Lect.X, §11，p. 243）证明，如果两条曲线$y = f(x)$，$Y = F(x)$使得纵坐标Y与面积$\int_a^x y \, dx$成比例（也就是说，如果$cF(x) = \int_a^x f(x) \, dx$），那么$Y = F(x)$ 的切线在点处与 Ox 相切，横坐标 $x - T$ 由 $y/Y = c/T$ 确定；此外，证明是完全正确的，从明确的假设开始，$f(x)$是单调的：并且指出$f(x)$确定的变化感是$Y = F(x)$的凹性感。但人们可能会觉得注这个定理有点迷失在一大群其他人中，其中许多人都非常有趣；未经警告的读者只会看到一种通过求积问题$Y/T = f(x)/c$求解的方法，也就是说，根据有关其切线的信息确定曲线的特定问题（或者，正如我们所说，特定类型的微分方程）；更重要的是，因为巴罗给出的应用涉及同一类型的之前所有问题（也就是说，微分方程可通过“变量分离”整的）。巴罗强加给自己的几何语言在这里是导致微分与积分之间的联系在运动学方面如此清晰的原因，却有些模糊。

另一方面，各种方法已经成型，为了减少一些问题与其他问题的整合，并“解决”它们，或者至少将它们降低到已经归类为“不可能”的问题。在最简单的几何形式中，部分的积分包括将由O.x、O.y和单调曲线$y = f(x)$连接的Ox的点$(a, 0)$到Oy的点$(0, b)$界定的面积写成$\int_0^a y\, dx = \int_0^b x\, dy$；并且它经常被隐含地使用。下面的推广出现，已经很好地隐藏在 Pascal 语言中 ((XII c), 287-288)： $f(x)$ 如上，令 $g(x)$ 为函数 $\geqslant 0$，并令 $G(x) = \int_0^x g(x)\, dx$；那么就有$\int_0^a y\, g(x)\, dx = \int_0^b G(x)\, dy$，他通过两种方式评估固体$0 \leqslant x \leqslant a,\ 0 \leqslant y \leqslant f(x),\ 0 \leqslant z \leqslant g(x)$的体积巧妙地证明了这一点；特殊情况$g(x) = x^n,\ G(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1}$在帕斯卡（*loc.cit.*，p. 289-291）和费马（（XI），v.I，p. 271）中都起着重要作用；后者（其著作的重要标题是“Transmutation et émendation des équations des courbes, et ses applications variées à la comparaison des espaces curvilignes entre eux et avec les espaces rectilignes...”）没有证明这一点，无疑是因为他认为重复帕斯卡刚刚发表的内容没有用。这些关于“嬗变”的定理，我们会看到变量的部分和变换积分的组合，在一定程度上取代了这个，因为它是很久以后才引入的；允许使用图形以外的变量，即坐标（或有时极坐标）或曲线的弧长度中的一个或另一个，这确实与当时的思维方式相反，仍然太几何化，太少分析。因此，我们找到了 Pascal (XII d) 的结果，在现代记号中，可以写成 $x = \cos t,\ y = \sin t$，特别是函数 $f(x)$：

并且，在 J. Gregory ((XVII bis), p. 489) 中，对于曲线 $y = f(x)$ 及其弧 $s$， $\int y\, ds = \int z\, dx$，与$z = y \sqrt{1 + {y'}^2}$。直到 1669 年，我们才看到巴罗拥有变量变换上的一般定理 ((XVIII)，p. 298-299)；他的叙述，一如既往的几何，相当于以下内容：让$x$和$y$通过单调关系连接，并让$p$是这个关系在点$(x, y)$的梯度；那么，如果函数 $f(x),\ g(y)$ 使得相应的值 $(x, y)$ 的每个对都有 $f(x)/g(y) = p$，则相应的极限之间的面积$\int f(x)\, dx,\ \int g(y)\, dy$ 相等；相反，如果这些面积始终相等（$f$ 和 $g$ 隐含地假定为常数符号），则 $p = f(x)/g(y)$； 逆命题自然可以将定理应用于微分方程的解（通过“变量分离”）。但巴罗只在附录中插入了定理（讲义XII，应用III，理论IV），其中，注意到他以前的许多结果只是特殊情况，他借口发现得太晚而无法更多地利用它。

因此，1670年左右，情况如下。人们知道如何通过统一的程序处理问题和约化的一阶导数，惠更斯也处理过约化的二阶导数的几何问题。人们知道如何将约化所有问题积分到积分；在分类不好的情况下，人们有各种几何方面的技术，可以将求积1减少到另一个，并且从点的角度来看，人们习惯于处理三角函数和对数函数；人们已经意识到分化与整合之间的联系；人们开始研究“反正切的方法”，这是当时给问题起的名字，约化是第一个阶的微分方程。墨卡托对级数$\log(1 + x) = - \sum_{n=1}^{\infty} (-x)^n / n$的轰动发现，为级数，尤其是幂级数，以及被称为“不可能”的问题的应用开辟了全新的视角。另一方面，秩的数学家数量已经大大减少：巴罗辞去了教授职位，转而担任传教士；除了惠更斯（惠更斯几乎拥有他所有的数学成果，他已经获得了《钟表振荡器》的所有主要结果，并于设定亲自编辑了该结果），只有剑桥的牛顿和阿伯丁孤立的 J. 格雷戈里是活跃的。莱布尼茨很快就以新手的热情加入了他们。这三人，从 1665 年开始的牛顿、从 1668 年墨卡托出版开始的 J. Gregory、从大约 1673 年开始的莱布尼茨，都主要致力于当今的主题，即对幂级数的研究。但是，从点和问题的分类来看，新的方法的主要作用似乎是抹去了它们之间的所有区别；事实上，牛顿更多的是分析家而不是代数学家，他在 1676 年毫不犹豫地向莱布尼茨宣布（XXII），p. 224）他知道如何求解所有微分方程$^{15}$；莱布尼茨对此回应（（XXII），p. 248-249），相反，他关心的是在有限的项中获得解，只要他能够“假设求积”，并且还想知道是否每个求积都可以简化为圆和双曲线的求积，正如在大多数已经研究的情况中所声称的那样；在这方面，他回顾说，格雷戈里相信（正如我们今天所知，他有理由相信）椭圆和双曲线的校正不能简化为圆和双曲线的求积；莱布尼茨询问牛顿使用的点方法或级数可以回答这些问题。牛顿，对于他的部分（（XXII），p. 209-211），宣称自己拥有判据，但他没有指出，显然是通过检查级数来决定某些正交（在有限项中）的“可能性”，并给出了（非常有趣的） $\int x^a (1 + x)^b \, dx$ 的积分为级数的例。

人们看到不到十年就取得了巨大的进步：分类问题已经在这些信中用完全现代的项阐述了；如果莱布尼茨提出的一个问题在XIX$^{th}$世纪通过阿贝尔的积分理论得到了解决，那么另一个问题，关于将给定微分方程简化为正交的可能性，尽管最近有重要的工作，但仍然是开放的。如果真是这样，那么牛顿和莱布尼茨已经各自将无穷小演算的基本运算简化为算法；只要在其中一方使用的记号中写出求积或微分方程的问题，其代数结构就会立即出现，脱离其几何涂层； 方法

15 在相关各方之间没有直接进行的信件交换过程中，牛顿“提出了他的主张”，他的方法如下：5accdae 10effh 12i ...rrrssssstttuuu，这是一个字谜词，人们发现其中将解封装为方法幂级数，系数未定 ((XXII), p. 224)。

“嬗变”也可以写成简单的解析式项； 问题分类以精确的方式表述。从数学上来说，XVII$^{th}$世纪已经结束。

E) 插值和差值演算。由于理论和实践的原因，这个主题（我们不将二项式系数的研究与该主题分开）很早就出现并持续了整个世纪。事实上，当时的一项伟大任务是三角、对数和航海表​​ 的计算，这是由于地理学、航海学、理论和实践天文学、物理学、天体力学的快速发展而必需的；许多最杰出的数学家，从开普勒到惠更斯和牛顿，都直接或通过理论研究参与了最有效的近似过程。

第一个问题，在表的使用甚至准备中，就是插值；随着计算精度的提高，人们在XVII$^{th}$世纪发现，由于最初的差异（值与表之间连续的值之间的差异）不再明显恒定，古老的线性插值程序失去了有效性；因此，我们可以看到布里格斯在计算对数时，对于例[^2]，利用了更高的阶，甚至相当高的阶的差异。后来，我们看到牛顿（（XIXd）和（XX），书III，引理5）[^3]和J.格雷戈里（（XVIIbis），p. 119-120），各自各自并行地追求他们的研究插值和幂级数；此外，两者都通过不同的方法，一方面到达公式，用于通过多项式插值，称为“牛顿”，另一方面到达二项式级数（（XVIIbis），p. 131；（XXII），p. 180）和主函数经典数学分析的幂级数展开 ((XVII bis); (XIX a 和 d) 和 (XXII)、p. 179-192 和 203-225)；毫无疑问，研究的这两条线对另一个有反应，并且在牛顿的心目中也与无穷小演算的原理的发现密切相关。格里高利和牛顿一样，在构造和表的使用、级数和积分的数值计算中表现出对实际数值工作的极大关注；特别是，尽管人们没有发现任何仔细的收敛性证明，就像上面引用的布劳恩克勋爵那样，但两者都不断地从计算能力的实际点的角度提到了它们的级数的收敛性。这又是我们对牛顿的看法，在回答柯林斯出于实际目的[^4]提出的问题时，将所谓的欧拉-麦克劳林求和方法应用于大N值的$\sum_{p=1}^{N} \frac{1}{n+p}$的近似计算。

人们还很早就遇到过从差异开始计算值或函数，用作积分的实际过程，甚至可以说是微分方程的积分。因此，赖特在 1599 年，着眼于航海表，解决了问题，我们将其写为

继续添加秒$t$的值，通过弧秒$^{19}$的连续间隔，自然地获得log tan$(\pi/4 + t/2)$的值的表；这种巧合自计算 log tan $t$ 的第一个表以来一直无法解释，直到 Gregory 在 1668 年对 sec $t$ 进行积分（(XVII c) 和 (XVII bis) p. 7 和 463）。

但这些问题也有纯粹的理论甚至算术方面。让我们同意用$\Delta' x_n$序列表示序列$(x_n)_{n \in \mathbf{N}}$的连续差，通过$\Delta x_n = x_{n+1} - x_n$的递归定义，并且

并用$S'$表示$\Delta$的逆运算及其迭代，因此如果$y_0 = 0, \Delta y_n = x_n$和$S'.x_n = S({S'}^{-1} x_n)$则放置$y_n = S.x_n$；一个有$S' x_n = \sum_{p=0}^{n-r} \binom{n-p-1}{r-1} x_p$，

特别是，如果 $x_n = 1$ 对于所有 $n$，则有 $S.x_n = n$，而序列 $S^2 x_n$ 和 $S^3 x_n$ 是希腊算术家已经研究过的“三角形”和“金字塔”数，并且一般来说 $S^r x_n = \binom{n}{r}$ $n \geq r$（和$S' x_n = 0$ 为 $n < r$)；这些序列就被引入了，从这个点来看，肯定早在XVI$^{th}$世纪就被引入了；它们也自发地出现在组合问题中，无论是它们本身，还是与概率相关，在XVII$^{th}$世纪的数学中发挥了相当大的作用，对于例，与费马和帕斯卡一起，然后与莱布尼茨一起。它们也出现在第一个 N 整数的 $m^{th}$ 幂的和表达式中，正如我们所见，其计算是费马第一个方法对 $m$ 整数 $\int x^m dx$ 的积分的基础（（XI），诉II，p. 83）。 1655 年，沃利斯在他的《无限算术》（XV a）中就是这样进行的，他不知道费马（未出版的）著作，而且他说，除了阅读托里拆利之外，他对不可分性的方法一无所知；确实，热衷于完成任务的沃利斯并没有一丝不苟地拖延自己研究：一旦他获得了$m$的第一个积分值的结果，他就认为每个整数$m$的“由归纳”为真，并正确地将$m = 1/n$传递给整数 $n$，然后通过“归纳”，但比第一个更概括，到任意理性$m$。但他工作的有趣性和独创性在于，他从那里逐步提高了自己对“欧拉”整的$I(m, n) = \int_0^1 (1 - x^{1/m})^n dx$（其中值，对于$m$和$n > 0$是$\Gamma(m+1)\Gamma(n+1)/\Gamma(m+n+1)$）和其他类似积分的研究，绘制了值的表 $1/I(m, n)$ 对应于整数 $m$ 和 $n$，这正是整数 $\binom{m+n}{n}$，并且方法几乎与那些相同

19 编。赖特，《纬度》表，1599 年（cf. 纳皮尔纪念卷，1914 年，p. 97）。

今天人们在阐述 $\Gamma$ 函数的理论时使用它，以 $\mathrm{I}(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \pi / 4 = (\Gamma(\frac{3}{2}))^2$ 的无限乘积结束；此外，通过对部分和非常简单的变换变量进行积分，并考虑$\mathrm{I}(m, n)$对于$m$和$n$的所有实数值，使他的方法正确并不困难，这是他几乎没有想到的，但牛顿的数学分析很快就会做到使成为可能。无论如何，这是沃利斯对整数$\binom{m+n}{n}$到$m$的非整数值的“插值”（更准确地说是形式$n = p/2$的值，其中$p$是一个奇数整数），牛顿出发时的点（（XXII），p. 204-206），引导他首先研究特殊情况$(1 - x^2)^{p/2}$，到二项式级数，然后为每个实数$a$引入$x^a$（如此表示）。以及通过二项式级数对 $x^a$ 进行微分；这一切都不需要付出巨大的努力来获得证明甚至严格的定义；此外，一个显着的创新是，根据$x^a$的导数知识，他推导出$a \neq -1$的$\int x^a \, dx$（（XIXa）和（XXII），p. 225）。对于其余的，尽管他很快就掌握了幂级数中展开的更一般的方法，例如所谓的牛顿多边形方法（代数函数）（（XXII），p. 221）和未确定的系数，他后来多次回到二项式级数及其推广；正是从那里，对于例，他似乎推导出了上面提到的$\int x^a (1 + x)^{\beta} \, dx$的展开（（XXII），p. 209）。

然而，这些想法在非洲大陆的演变却截然不同，而且更加抽象。帕斯卡在二项式系数（他从二项式系数中形成并命名为“算术三角形”）及其在概率演算和差值演算中的应用方面接近费马；当他解决整合问题时，他引入了相同的想法。和他的前辈一样，当他使用不可分的语言时，他将积分$F(x) = \int_0^x f(x) \, dx$设想为“曲线所有纵坐标的和”之比的值

到“单位”$N = \sum_{0 \leq p < N} 1$对于$N = \infty$（（XIIb），p. 352-355）（或者，当他放弃这种语言而采用正确的穷举语言时，因为该比率的极限随着$N$无限期地增加）。但是，考虑到问题矩，他观察到，当处理等距分布的离散质量$y_i$时，总质量的计算回到上面定义的运算$S y_n$，而力矩的计算回到运算$S^2 y_n$；以此类推，他将运算$\int$迭代到形式，他称之为“纵坐标的三角形和”，因此，用我们的语言来说，极限是和$N^{-2} S^2 (f(n/N))$，也就是说积分$F_2(x) = \int_0^x F(x) \, dx$；新的迭代给了他“金字塔和”$F_3(x) = \int_0^1 F_2(x) \, dx$。 极限共$N^{-3} S^3 (f(n/N))$；上下文清楚地表明，他在这里停下来并不是因为他的思想或语言缺乏独创性，而只是因为他预计只使用这些，其系统使用是他结果中良好的部分的基，并且他立即证明了我们将写为$F_2(x) = \int_0^x (x - u) f(u) du,\quad F_3(x) = \frac{1}{2} \int_0^x (x - u)^2 f(u) du$的属性（（XIIb），p. 361-367）；所有这一切都不需要写一个公式，而是使用一种如此透明和精确的语言，人们可以立即将其转录为公式，就像我们刚刚所做的那样。对于帕斯卡来说，就像他的前辈一样，但以一种更加清晰和系统的方式，自变量的选择（始终是坐标之一，或者是曲线的弧）隐含在固定积分区间细分的等距（虽然“无限接近”）点的约定中；根据具体情况，这些点要么在 Ox 上，要么在 Oy 上，要么在曲线的弧上，并且 Pascal 小心翼翼地不要在这个问题上留下任何歧义（(XII b), p. 368-369）。当他必须变换变量时，他通过原理来实现，相当于说，对于积分区间的每个细分，面积 $\int f(x) dx$ 可以写为 $S(f(x_i) \Delta x_i)$ 到“无限小”区间 $\Delta x_i$，相等或不相等（（XII d）， p. 61-68）。

正如我们所看到的，我们已经非常接近莱布尼茨了。有人可能会说，当他希望进入现代数学时，遇到了惠更斯，这是一次幸运的意外，惠更斯立即将帕斯卡的著作交到了他的手中（（XXII），p. 407-408）；他对组合分析的思考是特别有准备的，我们知道他对它进行了深刻的研究，正如他的作品所反映的那样。 1675年，我们看到他将上面引用的帕斯卡的定理抄写成形式$\mathrm{omn}(x \omega) = x.\mathrm{omn}\ \omega - \mathrm{omn}(\mathrm{omn}\ \omega)$，其中$\mathrm{omn}\ \omega$是$\omega$从0到$x$积分的缩写，几天后莱布尼茨用$\int \omega$（ “summaomnium$\omega$”）同时他引入了$d$来表示无限小的“差异”，或者正如他很快就会说的，微分（（XXII），p. 147-167）。将这些“差异”视为彼此之间可比较的量虽然而不是有限量，但他最常将自变量$x$的微分$dx$视为单位元、$dx = 1$（这相当于将微分$dy$与导数$dy/dx$等同起来），并且一开始在他的研究中将其省略。 记号积分，因此显示为 $\int y$ 而不是 $\int y dx$；但他很快就介绍了后者，并在他认识到其相对于自变量选择的不变性特征标时系统地坚持下去，这样就无需不断地记住这个选择 ^20 ；当他回到对巴罗的研究时，他表现出了不小的满足感，因为他注意到巴罗对变量的变换的一般定理（巴罗对此做了如此多的研究）立即来自他自己的记号（（XXII），p. 412）。此外，在所有这一切中，他都非常接近演算的差异，从中他的微分演算是通过通向极限的一段推导出来的，当然他必须煞费苦心地严格证明这一点；接下来，他故意坚持这样一个事实：他的原理同样适用于其中一个和另一个。他在例中明确引用了帕斯卡，而在他的对应中，

^20 "J'avertis qu'on prenne garde de ne pas omettre dx ... faute fréquemment commise, et qui empêche d'aller de l'avant, du fait qu'on ôte par là à ces indivisibles, comme ici dx, leur généralité ... de laquelle naissent d'innombrables变形和等值人物。” ((XXI b), p. 233)。

约翰·伯努利（(XXI)，v.III，p. 156），提到他的第一个研究，他从演算的差异中给出了公式，这是牛顿差异的一个特例，并从中推导出“经过到极限” 公式$y = \sum_{1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{d^n y}{dx^n} \frac{x^n}{n!}$（其中$y$是函数对$x = 0$消失，而$d^n y / dx^n$是变量的值$x$的导数），公式相当于伯努利刚刚传达给他的类似情况（（XXI），诉III，p. 150）和（XXIV），诉I，p. 125-128），后者通过部分的连续积分证明了这一点。可以看出，这个公式非常接近泰勒级数；泰勒在 1715 年重新发现了“他的”级数、$^{21}$，但没有充分利用它，这与莱布尼茨的论点相同，从差异的演算开始到极限。

F) 人们已经看到，隐含在上述演化中，无穷小演算的渐进代数化，也就是说，它被简化为具有代数特征标的记号统一系统的运算演算。正如莱布尼茨多次非常清楚地指出的那样（(XXI b) p. 230-233），对于新的数学分析来说，就像维特为方程论所做的事情和笛卡尔为几何所做的那样。要了解这一点的必要性，只需阅读 Barrow 的几页即可；任何时候，如果没有事先细致描述的有时复杂的图形，人们都无法应对； 100 页（讲授V-XII）他需要不少于 180 个图形，这形式是他作品的精髓。

几乎不可能存在代数问题，这是事实，之前一些单位元已经出现在重数的几何外观中。然而，Grégoire de St. Vincent (IX) 已经引入了（以“ductus plani in planum”为名）一种合成的律，相当于系统地使用积分$\int_a^b f(x)g(x)\, dx$，被视为固体$a \leq x \leq b, 0 \leq y \leq f(x), 0 \leq z \leq g(x)$的体积；但他远没有画出推论，正如人们所看到的，帕斯卡后来通过研究同一个固体推导出了推论。 1655年的沃利斯和1658年的帕斯卡，各自以自己的方式创造了代数特征标的语言，其中，没有写出任何公式，他们起草了叙述，一旦人们理解了其机制，就可以立即将其转录为积分演算的公式。帕斯卡的语言特别清晰、精确；而且，如果人们不明白为什么他不仅拒绝使用笛卡尔的代数记号，甚至拒绝使用维耶特的代数记号，那么人们只能钦佩他所完成的杰作，而仅靠他对语言的掌握就使之成为可能。

但几年过去了，一切都变换。牛顿是第一个提出几何特征标的替换所有运算的想法，当代无穷小

21 B. TAYLOR，Methodus Incrementorum directa et inversa，伦敦，1715。对于演算的差异，泰勒自然可以依赖牛顿的结果，该结果包含在著名的《原理》引理（(XX)。书III、引理 5）中，并于 1711 年更完整地出版(XIXd)。至于经过到极限的想法，似乎是典型的莱布尼茨式的；如果人们不知道许多来自各个时期的弟子们的许多例，除了他们的导师和赞助人的著作之外，对所有一切都一无所知，那么人们很难相信泰勒在这个点上的独创性。泰勒既没有引用莱布尼茨，也没有引用伯努利；但牛顿与莱布尼兹的争议十分激烈，泰勒是英国皇家学会的秘书，而艾萨克爵士是该学会全权的主席。

数学分析，通过单一解析运算、微分，以及问题的逆矩阵解； 运算当然，幂级数中的方法让他能够极其轻松地执行任务。借用他的语言，我们看到，通过虚构一个普遍的“时间”参数，他将这个参数的函数变量称为“流利”，并将它们的导数称为“流数”。他似乎并没有特别重视记号，他的信徒后来吹嘘没有系统的记号是一个优势；尽管如此，为了个人使用，他很快就养成了用点表示流变的习惯，因此用$\dot{x}$表示$dx/dt$。 $d^2 x/dt^2$乘$\ddot{x}$等。至于积分，似乎牛顿和巴罗一样，从未设想过将其保存为问题（找到知道流数的流式，求解$\dot{x} = f(t)$），而不是运算；他也没有积分的名称，似乎也没有标准的记号（除了有时平方、$\int \overline{f(t)}$或$\square f(t)$代表$\int f(t)\,dt$）。是因为他不愿意给那些没有以唯一方式定义、而只能达到加性常数的东西命名和符号吗？由于缺乏文字，人们只能提出问题。

As much as Newton was empirical, correct, circumspect in his greatest boldnesses, so Leibniz was systematic, a generalizer, adventurous innovator and sometimes boastful. 从他年轻的时候起，他的头脑中就萌生了一种“特征性”或通用符号语言的想法，这对于整个人类思想来说就像代数记号对于代数一样，其中每个名称或符号都是所表示事物所有品质的关键，如果没有正确的推理，人们就无法正确使用它。 人们很容易将这样的项目视为幻想。然而，它的作者很快就认识并分离出无穷小演算的基本概念，并赋予它或多或少确定的记号，这并非偶然。 我们已经见证了它的诞生，并观察到莱布尼茨的谨慎，他似乎意识到了他的使命，逐步修改它们以确保简单性，尤其是他所追求的不变性（XXI$a$和$b$）。 这里对注来说重要的是$\int$和$d$、积分和微分作为互逆算子的清晰概念，从他引入它们时起（对牛顿的思想一无所知）。 确实，在以这种方式进行时，他无法摆脱不定积分固有的模糊性，这是他的系统的弱点，他像他的后继者一样熟练地滑行了它。 但令人震惊的是，从新符号第一次出现开始，莱布尼茨立即忙于制定它们的使用规则，询问是否$d(xy) = dx\,dy$（（XXII），p. 16-166），并给出否定的回答，然后逐步得出正确的规则（XXI$a$），他后来将其推广到他著名的公式 $d^n(xy)$ ((XXI), v. III，p. 175）。 当然，在莱布尼茨这样摸索的时候，牛顿十年前就已经知道$z = xy$蕴含$\dot{z} = \dot{x}\,y + x\,\dot{y}$；但他从不费心这么说，因为除了他区分流利者的关系$F(x,\ y,\ z) = 0$规则的特殊情况之外，他没有看到任何其他情况，不值得命名。 相反，莱布尼茨主要关心的不是让他的方法服务于这种具体的问题的解，甚至也不是从严格而坚不可摧的原理推论出它们，而是首先集合建立一个基于对几个简单规则的形式化操作的算法。 正是本着这种精神，他通过使用括号改进了代数记号，逐步采用$\log x$或$l_x$作为对数$^{22}$，并坚持“指数演算”，即对指数$a^x, x^x, x^y$的系统考虑，其中指数是变量。 Above all, while Newton did not introduce fluxions of higher order except as strictly necessary in each concrete case, Leibniz early oriented himself towards the creation of an "operational calculus" by the iteration of $d$ and of $\int$; little-by-little becoming aware of the analogy between multiplication of numbers and the composition of operators in his calculus, he adopted, with happy audacity, the notation for exponents to write the iterates of $d$, thus writing $d^n$ for the $n^{th}$ iterate ((XXII), p. 595 and 601 $^{23}$, and (XXI), v. V、p. 221 和 378)，甚至 $\int$ 的 $d^{-1},\ d^{-n}$ 及其迭代 ((XXI)，v. III、p. 167）；他甚至试图为任意实数 $\alpha$ ((XXI), v.) 赋予 $d^\alpha$ 意义。 II、p. 301-302 和 v。 III，p. 228）。

这并不是说莱布尼茨对他的演算的应用不感兴趣，他深知（正如惠更斯经常向他重复的那样（（XXII），p. 599））它们是试金石；但他缺乏深入研究的耐心，最重要的是，他寻求机会制定新的一般规则。因此，他在 1686 年（XXI c）处理了曲线的曲率和密切圆，最终在 1692 年（XXI d）用平面曲线接触的一般原理 $^{24}$ 结束； 1692年（XXIe）和1694年（XXIf）他集合出了基的包络理论；与约翰·伯努利同时，他在 1702 年和 1703 年将有理分式与分解整合为简单的元素，但首先以正式的方式进行，并且没有充分理解分母（XXI、g 和 h）中出现复杂线性因子的情况。就这样，1697 年 8 月的一天，他在旅途中沉思演算的变分问题时，想到了关于 $\int$ 符号下的参数的微分规则，并热情地立即将其发送给伯努利（(XXI, v. III, p. 449-454）。但是当他到达那里时，他的演算的基本原理已经建立了很长时间，并且它们的使用已经开始传播：无穷小数学分析的代数化是一个既成事实。

G) 函数的概念在XVII$^{th}$世纪以多种方式被引入和澄清。所有运动学都基于一种直观的、以某种方式实验性的关于随时间变化的量的概念，即时间的函数，并且我们已经看到如何得出参数的函数，例如 Barrow 中出现的，并且，在

$^{22}$ 但他没有三角函数函数的符号，也没有（缺少$e$的符号）“对数为$x$的数”。 $^{23}$ ...“这是我的最爱，可以代替文字和力量，可以替换文字，可以代替$xx$，或$x^3$，预存$m$，或$n$，结束后声明 que ce doivent estre les puissances de la grandeur $x$。 Jugés，蒙斯。comien cela embarasseroit。 这是 $dx$ 和 $ddx$ 之间的差异，这些差异是在部分中不确定的伟大情感的力量。 我觉得设计师的设计风格很自然，让人立即就能体会到宏伟的感觉，而不是感情。” $^{24}$ 他首先在点上犯了一个奇异的错误，认为“接吻圆”（密切圆）在公共的中有四个点，且曲线位于点接触处；后来，由于伯努利兄弟的反对，他在这个问题上投降了，但很困难（(XXI), v. III、p. 187-188、201-202 和 207）。

名字流利，同牛顿。 概念“任意曲线”经常出现，但很少被精确化；可能是它经常被认为是在运动学或任何情况下的实验形式中，并且没有判断一条曲线有必要受到阶中的几何或分析特征的影响，以作为论证的对象；尤其是（出于我们今天能够更好理解的原因）当涉及到例与 Cavalieri、Pascal 和 Barrow 的整合时；后者，推理关于$x = ct,\ y = f(t)$定义的曲线，假设认为$dy/dt$应该是递增，甚至明确表示“没关系”$dy/dt$“按照某个律有规律地增加，甚至不规律”（（XVIII）， p. 191），也就是说，正如我们所说，对分析定义敏感或不敏感。 不幸的是，这个清晰而富有成果的想法，在XIX\textsuperscript{th}世纪重新出现，却无法对抗笛卡尔造成的混乱，因为笛卡尔首先禁止“几何”中所有不易精确分析的曲线定义，其次，将这种定义中可接受的形成过程限制为代数运算一个人。 确实，在最后的点，他并没有得到大多数同时代人的追随。渐渐地，常常是通过非常微妙的弯路，各种超越运算，对数，指数，三角函数函数，求积，微分方程的解，通向极限，级数的求和，逐渐建立起来，虽然在每种情况下都不容易标记出精确的值。向前迈出一步的那一刻；而且，向前迈出一步之后往往会后退一步。 对于对数，例，必须考虑对数曲线（$y = a^x$或$y = \log x$根据选择轴）、对数螺线、双曲线的求积、级数展开的重要阶段，甚至$\log(1 + x)$的采用，甚至符号的采用$\log x$ 或 $l x$。 关于三角函数函数，在某种意义上可以追溯到古代，有趣的是，正弦曲线最初并不是由方程 $y = \sin x$ 定义的，而是随着 Roberval ((VIII a), p. 63-65) 出现，作为“摆线的伴侣”（曲线的情况也是如此）

As for Leibniz, he seemed to hold to the Cartesian point of view, widened by the explicit adjunction of quadratures, and by the implicit adjunction of the other operations familiar to the analysis of his time: summation of power series, solution of differential equations. 同样，约翰·伯努利（Johann Bernoulli）在考虑 $x$ 的任意函数时，将其介绍为“从 $x$ 和常数开始以任何方式形成的量”（（XXI），v. II, p. 150), 有时指定它涉及“以代数或超越的方式”形成的量 ((XXI), v. II、p. 324）； 1698 年，他同意莱布尼茨将这样的量称为“函数 of $x$”（(XXI)，v.1）。 III、p. 507-510 和p. 525-526) 26。 莱布尼茨已经引入了字“常数”、“变量”、“参数”，并根据一个或多个参数（XXI e）对一系列曲线进行了改进，建议包络线概念。 记号的问题也在对应中得到了约翰·伯努利 (Johann Bernoulli) 的澄清：对于 $x$ 的任意函数，后者很容易写出X 或 $\xi$ ((XXI)，v. III, p. 531); 莱布尼茨同意了，但也提出了$x^{-|1|}$、$x^{-|2|}$，我们就写成$f_1(x)$、$f_2(x)$；他提出，对于函数$z$右$x$的导数$dz/dx$，记号dx（与$dz$相反，这是微分），而伯努利则写出$\Delta z$（（XXI），v）。 III、p. 537 和 526）。

就这样，随着世纪的过去，英雄时代结束了。新的演算及其概念和记号是在莱布尼茨赋予它的形式中建立的。第一批弟子雅各布·伯努利和约翰·伯努利在探索领域与大师展开竞争，他们浏览着大师为他们指明道路的丰富领域。第一篇关于微分和积分演算的论文由 Johann Bernoulli 27 于 1691 年和 1692 年撰写，目的是为了一位表现出自己聪明学生的侯爵的利益。牛顿最终于 1693 年决定出版他的流变的简略概述（(XV), v. II, p. 391-396），这并不重要；如果他的《原理》在一个多世纪里为人们提供了思考的素材，那么他在无穷小领域已经被追上了，并且在许多点上被超越了。

26 在此之前，莱布尼茨已经在 1673 年的手稿中使用了这个字作为缩写来表示曲线的“remplissant Telle ou Telle fonction”量，例如切线或法线（以曲线和 O.x 为界）的例长度，甚至次正规、次切线等，因此，曲线上变量点的和、函数，具有几何微分定义。 在 1673 年的同一份手稿中，假定曲线由 $x$ 和 $y$ 之间的关系定义，“donnée par une équation”，但莱布尼茨补充说“il n'importe pas que la courbe soit ou non géométrique”（也就是说，用我们的语言来说，代数）（cf. D. 曼克，阿布。 普鲁士。 阿卡德。威斯康星州，1925 年，Nr. 1，柏林，1926 年）。 27 这篇关于积分演算的论文的部分仅于 1742 年发表（(XXIV), v. III, p. 385-558);处理微分演算的内容最近才被重新发现并发表（XXIV之二）；正如伯努利在给莱布尼茨的信中尖酸刻薄地指出的那样，霍皮塔尔侯爵确实以法文版出版了这本书，稍作修改后，以他自己的名字命名。

尽管如此，新系统的弱点还是显而易见的，至少在我们看来是这样。牛顿和莱布尼茨一下子废除了两千年的传统，赋予微分以原始作用，而将积分简化为相反的作用。需要花费整个XIX$^{th}$世纪和XX$^{th}$的部分，才能通过将实变量函数及其现代推广的一般理论的积分置于基来重新建立公平均衡（参见本书中的历史注记）集成）。这种对点观点的颠倒也造成了过度的、几乎排他性的作用，以牺牲定积分为代价赋予不定积分，这在巴罗，尤其是牛顿和莱布尼茨中已经看到：在那里，XIX$^{th}$世纪也必须把事情放回原位。最后，莱布尼茨对符号进行形式化处理的典型倾向在整个XVIII$^{th}$世纪不断增强，远远超出了当时数学分析的资源所能证明的范围。特别是，我们必须认识到，说实话，微分的莱布尼茨概念没有任何意义。在XIX$^{th}$世纪初，它声名狼藉，后来才逐渐恢复过来。而且，如果一级差速器的使用已经完全合法化，那么更高阶的差速器虽然非常有用，但迄今为止尚未真正恢复。

不管怎样，微分和积分演算的历史，从XVII$^{th}$世纪末开始，除变成了两个部分。其中一个与这个演算的应用有关，总是更加丰富、众多、多样。除了上面提到的平面曲线微分几何、微分方程、幂级数、变分演算之外，还增加了斜曲线微分几何，然后是曲面微分几何、倍数积分、偏微分方程、三角级数、众多特殊函数的研究，以及许多其他的知识。 型或问题，他们的历史将在专门的书籍中阐述。我们在这里只讨论那些对实数变量的函数的无穷小演算的原理的微调、深化和巩固做出贡献的作品。

从点的角度来看，XVIII$^{th}$世纪中叶的伟大论文并没有什么新奇之处。 苏格兰的麦克劳林$^{28}$，欧洲大陆的欧拉（XXV$a$和$b$），仍然忠实于各自继承的传统。 确实，前者努力澄清了一点牛顿的概念$^{29}$，而后者则将莱布尼茨形式主义推向了极端，像莱布尼茨和泰勒一样，满足于让微分演算停留在从差异演算开始到极限的一个非常晦涩的通道上，他对差异演算进行了非常仔细的解释。 但最重要的是，欧拉完成了莱布尼茨的工作，为$e$、$i$和三角函数引入了至今仍在使用的记号，并扩展了记号$\pi$。 另一方面，如果他经常对函数和解析表达式没有区别，他坚持认为，振动弦的三角级数和问题，有必要不将自己限制在函数，所以

$^{28}$C。麦克劳林，*完整的流数论文*，爱丁堡，1742 年。 $^{29}$ 事实上，他们非常需要得到保护，免受著名伯克利主教的哲学神学幽默攻击。据他说，相信流变的人不会发现对宗教的奥秘有信心是困难的：这是一种“人身攻击”的论点，既不缺乏逻辑，也不缺乏刺激性。

定义（并且他将其限定为“连续”），但也要考虑到，如果出现任意情况或“不连续”，函数，通过实验给出一条或多条曲线弧（（XXVc），p. 74-91）。最后，虽然这有点超出了我们的框架，但在这里不可能不提到他的复平面指数函数的扩张，从而他获得了著名的将指数与三角函数函数联系起来的公式，以及复数对数的定义；人们发现明确地阐明了对数和逆圆函数之间的著名类比，或者用XVII$^{th}$世纪的语言来说，圆的求积和双曲线之间的著名类比，格雷瓜尔·德·圣文森特已经观察到了，惠更斯尤其是格雷戈里做了精确的类比，并且与莱布尼茨和伯努利一起出现在正式整合

与此同时，达朗贝尔和其他地方一样，是数学中所有神秘性的敌人，在出色的文章（XXVI）中，用极限和导数的最大的清晰概念定义了极限和导数，并强有力地坚持认为，从根本上来说，这就是无穷小演算的整个“形而上学”。但这个明智的劝告并没有起到直接的的效果。拉格朗日 (XXVII) 的不朽著作代表了在牛顿最有争议的概念之一上找到数学分析的尝试，该概念混淆了任意函数的概念和可在幂级数中展开的函数，并推导出微分的概念由此得出（通过考虑级数中第一个阶的项系数）。当然，具有拉格朗日能力的数学家不可能在点处获得重要且有用的结果，例如，对于例（实际上以一种与刚刚指出的偏离的点无关的方式）泰勒公式的一般证明，余数表示为积分，并通过平均值进行评估值定理；此外，拉格朗日的工作是维尔斯特拉斯的复变量函数理论中的方法以及形式级数的现代代数理论的起源。但是，从点其直接的的目的来看，它代表的是退却而不是进步。

相反，通过柯西的教学著作（XXVIII），人们会发现自己再次踏上了坚实的基础。他对函数的定义基本上与我们今天的定义相同，尽管语言上仍然有点模糊。 极限中的概念一劳永逸，作为出发的点；连续的函数（现代意义上的）和导数的那些以及它们的主要基本性质都可以立即被推导出来：并且导数的存在，而不是一个信仰的文章，成为一个由普通的方法或数学分析研究的问题。说实话，柯西对此几乎不感兴趣。另一方面，如果博尔扎诺在得出相同的原理后，构造了连续的函数在任何点（XXIX）处都不具有有限导数的例，那么这个例就没有发表，并且直到Weierstrass在1872年的著作中（以及在他的课程中）才公开解决了这个问题1861）（XXXII）。

As regards integration, the work of Cauchy represents a return to the sound traditions of antiquity and the first part of the xvii$^{th}$ century, but relying on still inadequate technical means. 长期以来被贬为第二个秩的定积分再次成为原初概念，为此柯西最终采用了傅立叶提出的记号$\int_a^b f(x) \, dx$（代替了欧拉使用的笨重的$\int f(x) \, dx \left[ \begin{array}{c} x = b \\ x = a \end{array} \right]$有时）；而到了定义，柯西又回到了疲惫的方法，或者正如我们所说，回到了“黎曼和”（最好称其为阿基米德和，或欧多克斯和）。 确实，XVII$^{th}$世纪从未认为它与面积主题概念相适应，对它来说，面积主题至少与不可通约的实数一样清晰，需要严格审查；但是“黎曼”和向曲线下面积的收敛，即使只是一条单调或分段单调曲线，也是XVII$^{th}$世纪所有关注严谨性的作者所熟悉的想法，例如费马、帕斯卡、巴罗；和 J。 格雷戈里，由于他对极限的思考以及他对“嵌套区间”的原理已经非常抽象的形式的熟悉，甚至起草了一份仔细的证明，该书尚未发表（（XVII之二），p. 445-446），并且几乎可以为柯西服务变换，如果他知道的话$^{30}$。 对他来说不幸的是，柯西声称要证明积分的存在性，即对于任意连续函数，“黎曼和”的收敛性；如果基于闭区间上连续函数的一致连续性的定理，他的证明、虽然正确，则由于缺乏这个概念而被剥夺了所有证明值。 当狄利克雷在三角函数级数上撰写著名的回忆录时，他似乎也没有注意到其中的困难，因为他引用了所讨论的定理“容易证明”（（XXX），p. 136）；确实，在最后的数学分析中，他仅将其应用于有界分段单调函数； 黎曼比较谨慎，只提到了最后这些，当涉及到使用他的必要且充分的条件来收敛“黎曼和”（（XXXI），p. 227-271）时。 海涅 (cf. Gen.) 建立了一致连续性上的定理。 顶.,II,历史注记,p. 217)，这道题当然不再有任何难度了； 1875 年，达布在关于不连续的函数（XXXIII）、回忆录的积分的回忆录中轻松解决了这个问题，其中他碰巧在许多点上与大约同时出现的P. du Bois-Reymond的重要的研究达成了一致。 结果，我们第一次发现连续函数积分的线性性，但这一次是明确的。 另一方面，序列或级数一致收敛的概念，由Seidel等人于1848年引入，并被Weierstrass（cf. Gen. Top., X, 历史注记, p. 347), 使得在条件下给出一个可靠的基成为可能，确实，对于级数的逐项积分，以及在$\int$符号下的微分，同时等待我们不必在这里谈论的现代理论，并以暂时明确的方式澄清这些问题。

至此，我们已经到达了经典无穷小演算的最后阶段，以XIX$^{th}$世纪末伟大的数学分析论为代表；从我们点的角度来看，约旦（XXXIV）占据了最突出的位置

$^{30}$ 这至少是特恩布尔在手稿中给出的总结所表明的。

出于美学原因，在部分中对它们进行了处理，但也因为，如果它构成了对古典数学分析结果的令人钦佩的阐述，那么它在许多方面宣告了现代数学分析，并为其做好了准备。 之后乔丹来到勒贝格，进入本作另一个书的主题。

(I) Euclidis Elementa，第 5 卷，编辑。 J.L。 Heiberg，Lipsiae（Teubner），1883-88。 （I之二）T.L。 Heath，《欧几里得元素十三本书》，第 3 卷，剑桥，1908 年。 (II) 阿基米迪歌剧 Omnia，第 3 卷，编辑。 J.L。 Heiberg，第 2e 版，莱比锡（Teubner），1913-15。 (II之二) Les Œvres complètes d’Archimède, trad. P. Ver Eecke，巴黎-布鲁塞尔 (Declée-de Brouwer)，1921 年。 (III) 伽利略·伽利莱，歌剧，Ristampa della Edizione Nazionale，20 卷，佛罗伦萨（巴贝拉），1929-39。 (III之二) 由于新的科学关注机械和局部运动，伽利略·伽利莱·林西奥先生、托斯卡纳大公爵的宁静和原始数学的讨论和数学分析。在莱达，appresso gli Elseviii，MDCXXXVIII。 (IV) J. Neper，Mirifici logarithmorum canonis constructio，里昂，1620。 (V) J. Kepler，Neue Stereometrie der Fäser，Ostwald’s Klassiker，n 165，莱比锡 (Engelmann)，1908。 (VI) B. Cavalieri：a) Geometria indivisibilibus Continorum fouram Ratione promota，Bononiae，1635（2e ed.，1653）； b) 几何性练习，Bononiae，1647。 (VII) E. Torricelli，歌剧，第 4 卷，编辑。 G. Loria 和 G. Vassura，法恩扎（蒙塔纳里），1919 年。 (VII之二) E. Torricelli，G. Loria，圣经。垫。 （III），t。 I，1900，p. 78-79。 (VIII) G. de Roberval, Ouvrages de Mathématique (Mémoires de l’Academie Royale des Sciences, t.III)，阿姆斯特丹，1736 年：a) Observations sur la 合成 des mouvements, et sur le moyen de trouver les touchantes des lignes courbes, p. 3-67； b) Epistola ad Torricellium，p. 363-399。 (IX) P. Gregorii a Sancto Vincentio，Opus Geometricum Quadraturae Circuli et Sectionum Coni ...，第 2 卷，Antverpiae，1647 年。 (X)R.笛卡尔，Œuvres，ed。章。 Adam 和 P. Tannery，第 11 卷，巴黎 (L.Cerf)，1897-1909 年。 (X之二) R.笛卡尔，《几何》，传统。拉丁神父van Schooten，第 2e 版，第 2 卷，阿姆斯特丹（Elzevir），1659-61。

(XI) P. FERMAT, Œuvres, 巴黎 (Gauthier-Villars), 1891-1912: a) De Linearum curvarum cum lineis rightis comparatione ... Auctore M. P. E. A. S., t. I、p. 211-254（繁体法语，同上，t.III、p.181-215）； b) Methodus ad disquirendam maximam et minimam, t. I、p. 133-179（繁体法语，同上，t.III、p. 121-156）； c) De aequationum localium transmutatione et emendatione ad multimodam curvilineorum inter se vel cum ectilineis comparationem, cui annectitur您的比例几何 inquarandis infinitis parabolis et hyperbolis usus, t. I、p. 255-288（繁体法语，同上，t.III、p. 216-240）。

(XII) B. PASCAL，Œuvres，14 卷，编辑。 Brunschvicg，巴黎（阿歇特），1904-14：a) A. Dettonville 的信函，A. D. D. S. 先生的信函，他对螺旋和抛物线的古老方式进行了演示，t。 VIII，p. 249-282； b) 德顿维尔先生和卡卡维先生的信，t。 VIII，p. 334-384； c) Traité des trilignes 矩形和 de leurs onglets, t。 IX，p. 3-45：d) Traité des sinus du quart de cercle，t。 IX，p. 60-76。

(XIII) N. MERCATOR，Logarithmotechnia ... cui nunc accedit vera Quadratura Hyperbolae ... Londini，1668（转载于 F. MASÈRES、Scriptores、Logarithmici ...，第 I 卷，伦敦，1791 年，p. 167-196）。

(XIV) LORD BROUNCKER, The Squaring of the Hyperbola by an infinite series of Rational Numbers, together with its Demonstration by the Right Honourable the Lord Viscount Brouncker, Phil. Trans., v. 3 (1668), p. 645-649 (reproduced in F. MASÈRES, Scriptores, Logarithmici ..., vol. I, London, 1791, p. 213-218).

(XV) J. WALLIS，Opera Mathematica，第 3 卷，Oxoniae，1693-95：a) Arithmeticca Infinitorum，t。 I，p. 355-478。

(XV bis) J. WALLIS, LOGARITHMOTECHNIA NICOLAI MERCATORIS: discoursed in a letter written by Dr. J. Wallis to the Lord Viscount Brouncker, Phil. Trans., v. 3 (1668), p. 753-759 (reproduced in F. MASÈRES, Scriptores Logarithmici ..., vol. I, London, 1791, p. 219-226).

(XVI)CH。惠更斯，完成的，publiées par la Société Hollandaise des Sciences，第 19 卷，La Haye (Martinus Nijhoff)，1888-1937：a) Examen de “Vera Circuli et Hyperboles Quadratura ...”，t。 VI、p. 228-230（= Journal des Scavans，juillet 1668）； b) Horologium Oscillatorium，t。 XVIII； c) 二次双曲线、省略和循环定理...，t。 XI，p. 271-337； d) De Circuli Magnitudine Inventa ...，t。 XII，p. 91-180。

(XVI之二) Christiani Hugenii, Zulichemii Philosophi, vere magni, Dum viveret Zelemii Toparchae, Opera Mechanica, Geometrica, Astronomia et Miscellanea, 4 tomes en 1 vol., Lugd.巴塔夫，1751 年。

(XVII) J GREGORY：a) Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura ...，Pataviae，1667； b)《几何学》，Pataviae，1668； c) 几何实验，伦敦，1668 年。

(XVII之二)詹姆斯·格雷戈里三百周年纪念卷，包含他与约翰·柯林斯的对应以及他迄今为止未出版的数学手稿。 。 。 ，编辑。 H.W.特恩布尔，伦敦（贝尔父子公司），1939 年。

(XVIII)I。巴罗，数学著作，编辑。 W. 休厄尔，剑桥，1860 年。

(XVIII之二) Lectiones Geometricae：In quibus (praesertim) GENERALIA Curvarum Linearum SYMPTOMATA DECLARANTUR。作家艾萨克·巴罗。 。 。隆迪尼. 。 。 M.DC.LXX（= 数学作品，p. 156-320）。

(XIX)I。牛顿，奥普斯库拉，t。 I，洛桑-日内瓦（M. M. Bousquet），1744 年： a) 无限数方程分析，p. 3-26； b) Methodus Fluxionum et serierum infinitarum, p. 29-199（第一次出版，1736 年）； c) De Quadratura curvarum，p. 201-244（第 1 次出版，1706 年）； d) 微分法，p. 271-282（第 1 版，1711 年）； e) Commercium Epistolicum，p. 295-420（第 1 次出版，1712 年，第 2 版，1722 年）。

(XX)I。牛顿，《自然哲学原理》，伦敦，1687 年（新版，格拉斯哥，1871 年）。

（XX之二）I。牛顿，自然哲学的数学原理，和他的世界系统，译。 1729 年，A. Motte 将其翻译成英语。加利福尼亚州，1946 年。

(XXI) 毛重莱布尼茨，《数学史里夫滕》，编辑。 C。 I。格哈特。第 7 卷，柏林哈勒 (Asher-Schmidt)，1849-63：a) Nova Methodus pro Maximis et Minimis。 。 。 ，t。 V，p. 220-226（= Acta Erud. Lips.，1684）； b) De Geometria recondita 。 。 。 ，t。 V，p. 226-233（= Acta Erud. Lips.，1686）； c) 与自然接触的新冥想。 。 。 ，t。 VII、p. 326-328（= Acta Erud. Lips.，1686）； d) Generalia de Nature Linearum 。 。 。 ，t。 VII、p. 331-337（= Acta Erud. Lips.，1692）； e) De linea ex lineis numero infinitis 。 。 。 ，t。 V，p. 266-269（= Acta Erud. Lips.，1692）； f) 新微积分应用。 。 。 ，t。 V、p. 301-306（= Acta Erud. Lips.，1694）； g) 新样本 Analyseos。 。 。 ，t。 V、p. 350-361（= Acta Erud. Lips.，1702）； h) 连续分析Quadraturarum Rationalium，t。 V，p. 361-366（= Acta Erud. Lips.，1703）。

(XXII) 戈特弗里德·威廉·莱布尼茨的数学简报，赫劳斯格。冯C。 I。格哈特，T. I，柏林（Mayer und Müller），1899 年。

(XXIII) 雅各布·伯努利，歌剧，第 2 卷，日内瓦 (Cramer-Philibert)，1744 年。

(XXIV) 约翰·伯努利 (Johann Bernouilli)，Opera Omnia，第 4 卷，洛桑-日内瓦 (M. M. Bousquet)，1742 年。

(XXIV之二) Johann Bernouilli: Die erste Integralrechnung, Ostwald’s Klassiker, n 194, 莱比锡-柏林, 1914; Die Differentialrechnung，奥斯特瓦尔德的经典，n 211，莱比锡，1924 年；

(XXV)L。欧拉，Opera Omnia：a) 微分计算机构，(1) t。 X，柏林（托伊布纳），1913 年； b) 积分计算机构，(1)，t。 XI-XIII，柏林（托伊布纳），t。 1、1913-14； c) 分析评论。 。 。 (1)，t。 XXIII，柏林-苏黎世 (Teubner-O. Füssli)，1938 年。

(XXVI) J. d’Alembert: a) Sur les principes du Calcul infinitésimal (Mélanges de littérature, d’histoire et de philosophie, nouv. ed., t. V, 阿姆斯特丹, 1768, p. 207-219); b) 巴黎百科全书，1751-65 年，文章“Différentiel”和“Limite”。 (XXVII) J.-L。 Lagrange, Œuvres, Paris (Gauthier-Villars), 1867-1892: a) 函数分析理论，2e ed., t. IX； b) Leçons sur le calcul des functions，2e ed.，t。 X。 (XXVIII) A.-L。 Cauchy, Résumé des leçons données à l’École Royale Polytechnique sur le calcul infinitésimal, Paris, 1823 (= Œuvres complètes, (2), t. IV, Paris (Gauthier-Villars), 1899)。 (XXIX) B. Bolzano，Schriften，Bd。 I：Funktionenlehre，Prag，1930。 (XXX) P. G. Lejeune-Dirichlet，Werke，t。 I，柏林（G. Reimer），1889 年。 (XXXI) B. Riemann，Gesammelte Mathematische Werke，第 2e 版，莱比锡 (Teubner)，1892 年。 (XXXII) K. Weierstrass，Mathematicische Werke，t。 II，柏林（Mayer und Müller），1895 年。 (XXXIII) G. Darboux，《函数终止回忆录》，Ann。 E.N.S.，(2) t。 IV (1875)，p. 57-112。 (XXXIV)C。 Jordan，Traité d’Analyse，第 3e 版，第 3 卷，巴黎（Gauthier-Villars），1909-15 年。

[^1]: 值得注意的是，费马如此谨慎，在他给出一般结果的应用中使用了积分的可加性，而没有使用字来证明它的合理性：他自己是否基正在研究函数的分段单调性，隐含地假设，从中确实不难通过穷举来证明可加性？或者他是否已经不由自主地被他所使用的语言所吸引？ [^2]: H. Briggs，《对数算术》，伦敦，1624 年，第 1 章。 XIII。 [^3]: 另请参见 D.C。 弗雷泽，牛顿插值公式，Journ。 研究所。 Actuaries, v. 51 (1918), p. 77-106 and p. 211-232. and v. 58 (1927), p. 53-95 (articles reprinted as a booklet, London (undated)). [^4]: Cf. St. P. Rigaud，科学界的对应...... 牛津，1841 年，诉。 II，p. 309-310。