Bourbaki

习题 10, § 1

标签 08A9，永久不变。引用为 [Bourbaki, Tag 08A9]。

实变函数, III, 117

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

序列(ak)k≥1(a_k)_{k \geq 1}由数>0> 0组成，我们放入sn=nAn=a1+⋯+ans_n = n A_n = a_1 + \cdots + a_n。对于 p<1p < 1 和 λk>0\lambda_k > 0 有一个

μ1s11/p+μ2s21/p+⋯+μnsn1/p≤λ1a11/p+λ2a21/p+⋯+λnan1/p \mu_1 s_1^{1/p} + \mu_2 s_2^{1/p} + \cdots + \mu_n s_n^{1/p} \leq \lambda_1 a_1^{1/p} + \lambda_2 a_2^{1/p} + \cdots + \lambda_n a_n^{1/p}

前提是μ1≥λ1\mu_1 \geq \lambda_1，对于k≥2k \geq 2，μk=(λkq+δkq)1/δ−δk+1\mu_k = \left( \lambda_k^q + \delta_k^q \right)^{1/\delta} - \delta_{k+1}，对于每个kk，q=p/(1−p)q = p/(1-p)，δk≥0\delta_k \geq 0，以及δn+1=0\delta_{n+1} = 0（锻炼8的方法）。特别是，存在不平等

∑k=1n((k−p)1/q−k1/q)sk1/q+n1/qsn1/q≤(1−p)1/q∑k=1nak1/q \sum_{k=1}^n \left( (k-p)^{1/q} - k^{1/q} \right) s_k^{1/q} + n^{1/q} s_n^{1/q} \leq (1-p)^{1/q} \sum_{k=1}^n a_k^{1/q}

这意味着（与 An=sn/nA_n = s_n/n）

∑k=1nAk1/p+n1−pAn1/p≤(1−p)−1/p∑k=1nak1/p \sum_{k=1}^n A_k^{1/p} + \frac{n}{1-p} A_n^{1/p} \leq (1-p)^{-1/p} \sum_{k=1}^n a_k^{1/p}

（强化*哈迪不等式*）；

1q∑k=1n(bk−1)Ak1/p+nAn1/p≤∑k=1nak1/pbk1/p \frac{1}{q} \sum_{k=1}^n (b_k - 1) A_k^{1/p} + n A_n^{1/p} \leq \sum_{k=1}^n a_k^{1/p} b_k^{1/p}

假设对于所有 kk 都有 bk≥1b_k \geq 1；

α(a12+a22+⋯+an2)≤a12+(a2−a1)2+⋯+(an−an−1)2+βan2 \alpha(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2) \leq a_1^2 + (a_2 - a_1)^2 + \cdots + (a_n - a_{n-1})^2 + \beta a_n^2
如果α=2(1−cos⁡θ)\alpha = 2(1 - \cos \theta)和β=1−sin⁡(n+1)θsin⁡nθ\beta = 1 - \frac{\sin(n+1)\theta}{\sin n\theta}对于某些θ\theta使得0≤θ<πn0 \leq \theta < \frac{\pi}{n}。

当θ=πn+1\theta = \frac{\pi}{n+1}时的情况；当θ=π2n+1\theta = \frac{\pi}{2n+1}时的情况。

解答

尚未写出解答。

被以下引用

无。

引用了

无。

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