习题 17, § 1

令 $f$ 为在开区间 $I \subset \mathbf{R}$ 上定义的实数函数，并且对于 $I$ 满足 $x_1 < x_2 < x_3 < x_1 + \pi$ 的三个点 $x_1, x_2, x_3$ 中的每一个系统，有一个

(1)

表明：

a) $f$在$I$的每点处连续，并且在$I$的每点处具有有限右导数和有限左导数；进一步，

(2) 对于点 $x, y$ $I$ 中的每个对，使得$|x - y| \leqslant \pi$；还有 (2) 的类似物，其中 1 替换 $f'_d$ 乘 $f'_g$；最后，每 $x \in I$ 就有 $f'_g(x) \leqslant f'_d(x)$。 （证明（2）让$x_2$逼近（1）中的$x_1$，保持$x_3$固定，从而得到$\limsup_{x_2 \to x_1} \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$的上界；然后让$x_3$逼近所得到的不等式中的$x_1$；由此推导出$f'_d(x)$的存在不等式 (2) 对于 $y > x$；对其他部分进行类似操作。）

b) 相反，如果 (2) 对于 $I$ 的点 $x, y$ 的每个对成立，使得 $|x - y| \leqslant \pi$，则 $f$ 在 $I$ 上满足 (1)（考虑差值 $\frac{f(x_2)}{\sin(x_3 - x_2)} - \frac{f(x_1)}{\sin(x_3 - x_1)}$）。

c) 如果$f$承认$I$的二阶导数，则(1)等价于条件

每$x \in I$。

“解释这些结果，考虑由 $x = \frac{1}{f(t)} \cos t,\ y = \frac{1}{f(t)} \sin t$ 定义的平面曲线（“相对于原点的凸度”）。”