习题 18, § 1

a) 证明在从$\mathbf{R}$到$\mathbf{C}$的映射的向量空间中，形式$x^n e^{\alpha x}$的不同函数（$n$整数，$\alpha$任意复数）形式是一个自由系统（通过矛盾论证，考虑函数中的关系具有最小可能的数系数$\neq 0$，并对这个关系求微分）。

b) 令 $f(X_1, X_2, \ldots, X_m)$ 为 $m$ 不定式中的多项式，具有复系数，这样当用函数 $\cos \left( \sum_{k=1}^n p_{jk} x_k \right)$ 替代 $X_j$ $1 \leq j \leq r$，并用函数 $\sin \left( \sum_{k=1}^n p_{jk} x_k \right)$ 替代 $r+1 \leq j \leq m$ 时，其中$p_{jk}$ 为实数，$x_k$ 为实数，可得到与 $x_k$ 相同的零函数；表明当给出 $x_k$ 任意复数值时，相同的恒等式成立（使用 a)）。