习题 25, § 1

$\mathbf{C}$ 形式中开放圆盘 $\Delta$ 上的亚态函数 a 域 $M(\Delta)$。 $M(\Delta)$ 的子域 F，使得 $u \in F$ 隐含$Du \in F$ 被称为 $M(\Delta)$ 的*微分* 子域。

a) 对于每个系数在 $M(\Delta)$ 中的多项式 $P(X) = X^m + a_1 X^{m-1} + \cdots + a_m$ 表明存在一个开盘 $\Delta_1 \subset \Delta$ （与一般情况下 $\Delta$ 不同的中心）和函数 $f \in M(\Delta_1)$ 满足

点 $z \in \Delta_1$ 其中 $f$ 和 $a_j$ 是全纯的。若F为$M(\Delta)$包含子域$a_j$则称由$f$和限制生成$M(\Delta_1)$子域到$F$函数$\Delta_1$为通过将$P$与$F$相邻的根$f$获得域$F(f)$。这种语言滥用不会引起混乱，因为 $F$ 的限制映射 $g \mapsto g|_{\Delta_1}$ 到子域 $M(\Delta_1)$ 是单射的。如果 $F$ 是微分的，$F(f)$ 也是微分。

b) 对于每个函数 $a \in M(\Delta)$ 表明存在一个开放圆盘 $\Delta_2 \subset \Delta$，使得在每个点 $z \in \Delta_2$ 处有函数 $g \in M(\Delta_2)$ 满足关系 $g'(z) = a(z)$ 其中 $g$和 $a$ 是全纯的。如果$F$是$M(\Delta)$包含$a$的子域，则表示由$g$和限制到$\Delta_2$生成$M(\Delta_2)$的子域$F(g)$ $F$的函数是通过将原语$\int a\,dz$邻接到$F$获得的域。如果 $F$ 是微分的，$F(g)$ 也是微分。

c) 对于每个函数$b \in M(\Delta)$，表明存在一个开盘$\Delta_3 \subset \Delta$，使得在每个点$z \in \Delta_3$处都有一个$h \in M(\Delta_3)$满足关系$h'(z) = b(z)h(z)$，其中$h$和$b$是全纯的和$\neq 0$。如果$F$是$M(\Delta)$包含$b$的子域，则表示由$h$和限制到$\Delta_3$生成$M(\Delta_3)$的子域$F(h)$ $F$的函数是通过将原语$\exp (\int b\,dz)$的指数与$F$邻接而获得的域。如果 $F$ 是微分的，$F(h)$ 也是微分。

d) 对于 $M(\Delta)$ 的每个子域 $F$ 和每个系数在 $F$ 中的多项式 $P(X) = X^m + a_1 X^{m-1} + \cdots + a_m$，有域 $K$ 通过连续邻接$F$ 根多项式而获得，使得$K$ 是$F$ 的伽罗瓦扩张，并且具有$P(X) = (X - c_1) \ldots (X - c_m)$，其中$c_i$ 是亚态函数（在合适的光盘上）属于到$K$。如果$F$是微分的，则对于$g \in K$和$K$的伽罗瓦群每元素$\sigma$有$(\sigma.g)' = \sigma.g'$超过$F_*$