Bourbaki

习题 28, § 1

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实变函数, III, 121

It is set in small type as supplementary.

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

a) 设F⊂M(Δ)F \subset M(\Delta)为微分域。有人说，如果存在有限序列，域 F′⊃FF' \supset F 是 FF 的初等扩张

F=F0⊂F1⊂F2⊂⋯⊂Fn−1⊂Fn=F′ F = F_0 \subset F_1 \subset F_2 \subset \cdots \subset F_{n-1} \subset F_n = F'
这样对于每个 j≤n−1j \leq n-1 都有 Fj+1=Fj(tj)F_{j+1} = F_j(t_j)，其中 FjF_j 中的 aj≠0a_j \neq 0 具有 tj′=aj′/ajt_j' = a_j'/a_j（这样就可以写 tj=log⁡ajt_j = \log a_j），或者 aj∈Fja_j \in F_j 具有 tj′/tj=aj′t_j'/t_j = a_j'（这样tj=exp⁡(aj)t_j = \exp(a_j)） 初等函数是函数即属于到C(z)\mathbf{C}(z)的初等扩张（域有理数函数超过C\mathbf{C}）。

例、函数

Arc sin z,(log⁡z)log⁡z,(1−exp⁡(1exp⁡(1z)−1))α(α∈C) \text{Arc sin } z, \quad (\log z)^{\log z}, \quad \left( 1 - \exp \left( \frac{1}{\exp \left( \frac{1}{z} \right) - 1} \right) \right)^{\alpha} \quad (\alpha \in \mathbf{C})

是初级函数。

b) 令 a∈Fa \in F 使得 FF 的初等扩张 F′F' 中存在元素 uju_j (1≤j≤m1 \leq j \leq m) 和 vv，并且常量 γj∈C\gamma_j \in \mathbf{C} (1≤j≤m1 \leq j \leq m) 使得

a=∑j=1mγjuj′uj+v′. a = \sum_{j=1}^m \gamma_j \frac{u_j'}{u_j} + v'.

证明 FF 中有元素 fjf_j (1≤j≤p1 \leq j \leq p) 和 gg 以及常数 βj∈C\beta_j \in \mathbf{C} (1≤j≤p1 \leq j \leq p) 使得

a=∑j=1pβjfj′fj+g′. a = \sum_{j=1}^p \beta_j \frac{f_j'}{f_j} + g'.

(约化，由序列(1)的长度nn上的归纳，到F′=F(t)F' = F(t)的情况。 通过修改uju_j，首先表明可以假设γj\gamma_j与Q\mathbf{Q}线性无关。 当 tt 超越 FF 时，使用 exerc。 27：如果t′=s′/st' = s'/s与s∈Fs \in F必须有uj∈Fu_j \in F和c∈F[t]c \in F[t]；通过使用()并通过反证法表明，必须有v=αt+bv = \alpha t + b与α∈C\alpha \in \mathbf{C}和b∈Fb \in F。 如果t′/t=r′t'/t = r'和r∈Fr \in F表明通过替换vv通过v+k.rv + k.r对于合适的整数k∈Zk \in \mathbf{Z}，可以假设uj∈F, v∈F[t]u_j \in F, \ v \in F[t]；通过反证证明vv是次数0，所以v∈Fv \in F。 最后，如果tt是FF的代数，则将F′F'嵌入到FF的伽罗瓦扩张KK中，并考虑()的变换和FF上的KK的伽罗瓦群。）

解答

尚未写出解答。

被以下引用

无。

引用了

无。

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