习题 29, § 1

令$f$和$g$为$z$的两个有理数函数（$\mathbf{C}(z)$的元素）。 证明，对于原语 $\int f(z) e^{g(z)} \, dz$ 是初等函数（练习 28），存在有理数函数 $r \in \mathbf{C}(z)$ 使得 $f = r' + r g'$ 是必要且充分的。 （放入$t = e^z$并考虑微分域$F = \mathbf{C}(z, t)$，这是自$t'/t = g'$以来$\mathbf{C}(z)$的初等扩张。 首先证明$t$超越$\mathbf{C}(z)$；通过矛盾论证，考虑$\mathbf{C}(z)$包含$t$的伽罗瓦扩张$K$，以及方程$t'/t = g'$的变换和$K$的伽罗瓦群；与$u \in \mathbf{C}(z)$可以得到方程$g' = u'/u$，并且$g'$不可能在$\mathbf{C}$中存在除简单极点之外的其他情况。 应用锻炼。 28 一个有$f t = \sum_j \gamma_j \frac{u_j'}{u_j} + v'$，有$\gamma_j \in \mathbf{C}$，还有$F$中的$u_j$和$v$；我们可以将约化转化为$\gamma_j$在$\mathbf{Q}$上线性无关的情况。 然后，应用锻炼。 27 到扩张 $\mathbf{C}(z)(t)$，表明有 $f t = v' + h$，还有 $h \in \mathbf{C}(z)$ 和 $v' \in \mathbf{C}(z)[t]$。 结论，$v$必然是$t$中的次数1，因而$f$等于$v'$中$t$的系数）

通过检查关系 $f = r' - r g'$ 中 $r$ 极点邻域处两侧的行为，由此推断出原语 $\int e^{-z^2} \, dz$ 和 $\int e^z \, dz/z$ 不是初等函数（*Liouville*的定理）。*