习题 9, § 1

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实变函数, III, 117

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锻炼记号。 6 表明

\mu_1 G_1 + \mu_2 G_2 + \cdots + \mu_n G_n \leq \lambda_1 a_1 + \lambda_2 a_2 + \cdots + \lambda_n a_n

假设每个 $k$ 都有 $\lambda_k \geq 0$ 并且

\mu_k = k \left( (\lambda_k \beta_k)^{1/k} - \beta_{k+1}^{1/k} \right) \quad \text{for } 1 \leq k \leq n

$\beta_k \geq 0$ 适用于所有 $k$ 、 $\beta_1 \leq 1$ 和 $\beta_{n+1} = 0$ （练习8的方法）。

特别地，对于 $\lambda_k$ 和 $\beta_k$ 中合适的选择，有

G_1 + G_2 + \cdots + G_n + n G_n \leq 2a_1 + \left( \frac{3}{2} \right)^2 a_2 + \cdots + \left( \frac{n+1}{n} \right)^n a_n

特别是（*卡尔曼的不等式*）

G_1 + G_2 + \cdots + G_n < e(a_1 + a_2 + \cdots + a_n);

e A_n \geq \Gamma_n e^{G_n / \Gamma_n}

其中 $\Gamma_n = (G_1 + G_2 + \cdots + G_n)/n$ （卡尔曼不等式的强化）；

\frac{A_n}{G_n} \geq \frac{1}{2} \left( \frac{\Gamma_n}{G_n} + \frac{G_n}{\Gamma_n} \right)

如果序列 $(a_k)$ 是递增：

n G_n - m G_m \leq a_{m+1} + a_{m+2} + \cdots + a_n.

解答

尚未写出解答。

被以下引用

无。

无。