Bourbaki

习题 3, § 2

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实变函数, III, 125

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

对于每一个*实数* x>0x > 0 和每一个*复数* m=μ+iνm = \mu + i\nu，我们都会放置 xm=emlog⁡xx^m = e^{m \log x}；证明III、p. 108的公式(19)对于mm复数和x>−1x > -1仍然有效，并且公式中的余数rn(x)r_n(x)满足不等式

∣rn(x)∣≤∣(m−1n)mμxn[(1+x)μ−1]∣if μ≠0∣rn(x)∣≤∣(m−1n)mxnlog⁡(1+x)∣if μ=0. |r_n(x)| \leq \left| \binom{m-1}{n} \frac{m}{\mu} x^n [(1+x)^{\mu} - 1] \right| \quad \text{if } \mu \neq 0 \\ |r_n(x)| \leq \left| \binom{m-1}{n} m x^n \log(1+x) \right| \quad \text{if } \mu = 0.
将二项式级数收敛性的研究推广到mm复数的情况。

解答

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