习题 7, § 2

令 $p$ 为 $p$-adic 数的素数数和 $\mathbf{Q}_p$ 域 (Gen. 顶部。、III、p. 322 和 323，练习。 23至25），令$\mathbf{Z}_p$为$p$-adic整数的环，且$\mathfrak{p}$为$\mathbf{Z}_p$中的主理想$(p)$。

a) 设$a = 1 + pb$，其中$b \in \mathbf{Z}_p$是乘法群$1 + \mathfrak{p}$中的元素；表明当有理数整数 $m$ 无限增加时，$p$-adic 数 $\frac{(1 + pb)^{p^m} - 1}{p^m}$ 趋向于极限等于收敛级数的和

1 用 $\log a$ 表示这个极限。

b) 证明当$\mathbf{Q}_p$、数、$\frac{a^x - 1}{x}$趋于$\log a$（使用$a$）和$\mathbf{Q}_p$的拓扑的定义时，$p$进数数$x$趋于0。

c) 证明如果$p \neq 2$ 则有$\log a \equiv pb \pmod{\mathfrak{p}^2}$，如果$p = 2$则有$\log a \equiv 0 \pmod{\mathfrak{p}^2}$，以及$\log a \equiv -4b^4 \pmod{\mathfrak{p}^3}$。

d) 证明如果$p \neq 2$（或$p = 2$），则$x \mapsto \log x$是乘法拓扑群$1 + \mathfrak{p}$到加法拓扑群$\mathfrak{p}$（或$\mathfrak{p}^2$）的同构；特别是，如果$e_p$是$1 + \mathfrak{p}$的元素，使得$\log e_p = p$（分别是$\log e_2 = 4$），那么$\mathbf{Z}_p$的同构到$1 + \mathfrak{p}$，与$x \mapsto \frac{1}{p} \log x$相反，（分别是$x \mapsto \frac{1}{4} \log x$） $y \mapsto e_p^y$（*cf.* Gen.Top.、III、p. 323、练习 25）。

e) 证明对于每个$a \in 1 + \mathfrak{p}$，在$\mathbf{Z}_p$上定义的连续函数$x \mapsto a^x$，在每个点处允许导数等于$a^x \log a$；由此推论，函数$\log x$在$1 + \mathfrak{p}$的每点处承认等于$1/x$的导数。