习题 8, § 2

a) 锻炼记号。 7、证明级数与一般项$x^n / n!$对于每个$x \in \mathfrak{p}$收敛，如果$p \neq 2$，对于每个$x \in \mathfrak{p}^2$（但没有$x \notin \mathfrak{p}^2$）如果$p = 2$（确定$p$的指数） $n!$的分解变为素数因子）。如果$f(x)$是这个级数的和，则表明$f$是$\mathfrak{p}$（或$\mathfrak{p}^2$）到$1 + \mathfrak{p}^2$的连续同态。由此推断，对于每个$z \in \mathbf{Z}_p$，都有$f(pz) = e_p^z$（或$f(p^2z) = e_p^{z'}$）；在其他字，

（使用练习7 e））。

b) 对于每个$a \in 1 + \mathfrak{p}$和每个$x \in \mathbf{Z}_p$都显示$\log(a^x) = x \log a$，并从a)中推导出来并执行。 7 d) 那个

c) 对于每个$m \in \mathbf{Z}_p$，证明在$1 + \mathfrak{p}$上定义的连续函数$x \mapsto x^m$，允许导数等于$mx^{m-1}$（使用b）并执行。 7e))。

d) 证明对于每个$m \in \mathbf{Z}_p$和每个$x \in \mathfrak{p}$，如果$p \neq 2$（$x \in \mathfrak{p}^2$如果$p = 2$）级数与一般项$\binom{m}{n} x^n$收敛，并且其和是连续的函数 $m$；通过观察 $\mathbf{Z}$ 在 $\mathbf{Z}_p$ 中（处处）稠密，可以推断出和等于 $(1 + x)^m$。