习题 9, § 2

锻炼记号。 7) 一由形式矩阵旋转$\mathbf{O}_2^+(\mathbf{Q}_p)$(群(空间$\mathbf{Q}_p^2$)群)

$\mathbf{Q}_p$中有元素，使得$x^2 + y^2 = 1$，这个群被赋予了Gen.Top.，VIII，p. 125，exerc中定义的拓扑。 2.

a) 用矩阵形成的$\mathbf{O}_2^+(\mathbf{Q}_p)$的$G_n$子群表示，使得$t = y/(1 + x) \in \mathfrak{p}^n$。证明$G_n$是紧致群，$G_n / G_{n+1}$与$\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$同构的，$G_1$的唯一紧致子群是群$G_n$（cf.Gen.Top.，III， p. 323，练习24）。

b) 证明$G_1$与矩阵的子群相同

使得 $x^2 + y^2 = 1,\ x \in 1 + \mathfrak{p}^2$ 和 $y \in \mathfrak{p}$ 如果 $p \neq 2$；如果$p = 2$则为$x \in 1 + \mathfrak{p}^3$和$y \in \mathfrak{p}^2$。

c) 证明级数与一般项、$(-1)^n x^{2n}/(2n)!$和$(-1)^n {}^1 x^{2n+1}/(2n+1)!$对于每个$x \in \mathfrak{p}$（如果$\neq 2$）、对于每个$x \in \mathfrak{p}^2$（如果$p = 2$）收敛；令$\cos x$和$\sin x$为这些级数中的和。显示映射

是加法拓扑群$\mathfrak{p}$（分别是$\mathfrak{p}^2$）到群$G_1$的同构。

d) 如果$p$是形式$4h + 1$($h$整数)，则在$\mathbf{Q}_p$元素$i$中存在$i^2 = -1$。如果每$z \in \mathbf{Q}_p^*$就有一个同事矩阵

乘法群 $\mathbf{Q}_p^*$ 中的一个定义同构到群 $\mathbf{O}_2^+(\mathbf{Q}_p)$；在此同构群$1 + \mathfrak{p}$对应到$G_1$，一个人有$\cos px + i \sin px = e_p^{t'}$（III，p. 126，练习8）。

e) 如果 $p$ 是形式 $4h + 3$ ($h$ 整数) 元素矩阵 $\mathbf{O}_2^+(\mathbf{Q}_p)$ 必然是 $p$-adic 整数。 那么多项式 $X^2 + 1$ 在 $\mathbf{Q}_p$ 中是不可约的；令$\mathbf{Q}_p(i)$为$\mathbf{Q}_p$的二次方扩张，通过邻接根$i$与$X^2 + 1$获得；一个赋予 $\mathbf{Q}_p(i)$ 与 Gen 中定义的拓扑。 顶部。，VIII，p. 127，练习。 2. 群$\mathbf{O}_2^+(\mathbf{Q}_p)$与范数1的$\mathbf{Q}_p(i)$的元素的乘法群$\mathbf{N}$同构的，在同构下将矩阵$\begin{pmatrix} x & y \\ -y & x \end{pmatrix}$与元素$z = x + iy$相关联。 证明$\mathbf{Q}_p(i)$中有方程$x^{p+1} = 1$的$p + 1$根，并且它们形式是$\mathbf{N}$的循环子群$\mathbf{R}$（论证如*Gen.1）。 顶部。*，III，p. 323，练习。 24；然后证明 $\mathbf{Q}_p(i)$ 中存在 $p + 1$ 不同的根同余 $x^{p+1} \equiv 1$（模 $p$），并且对于该同余的每个根 $a$，形式级数 $(a^{p^{2n}})$）。 推论群$\mathbf{O}_2^+(\mathbf{Q}_p)$与群$\mathbf{R}$和$\mathbf{G}_1$的*乘积*同构的。

f) 证明，对于$p = 2$，群$\mathbf{O}_2^+(\mathbf{Q}_p)$同构于群$\mathbf{G}_1$的乘积和阶4的循环群。