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历史注记

（注：罗马数字指的是注末尾的参考书目。）

正如我们所看到的（历史注记到章I-II-III），导致微分方程积分的问题是XVII$^{th}$世纪无穷小演算的创始人首先处理的问题之一（特别是笛卡尔和巴罗）。从那时起，微分方程理论就一直在考验数学家的智慧，并成为应用最多样化的方法或数学分析的有利领域；它所引发的问题远未得到全部解决，因此所产生的兴趣如此持久，以至于它构成了数学和实验科学之间最持久和最富有成果的点接触之一：后者经常在那里找到有价值的帮助，并作为交换不断提供新的问题。

现代完整的微分方程研究应包含众多的章，我们不想在这里阐述，而只想阐述两个最基本的，处理存在性定理和线性方程，变量假设为$real$。这就是为什么我们也极限对这两个方面进行简要的历史叙述。从 XVIII$^{th}$ 世纪初，数学家们确信，阶 $n$ 微分方程的“一般”积分取决于 $n$ 任意常数，并且“一般来说”对于函数及其第一个 $n - 1$ 导数，“一般”存在一个且仅有一个给定值的积分变量的给定值$x_0$：他们通过借助微分方程本身和第一个$n$系数一一计算解的泰勒展开在点$x_0$的系数的过程（回到牛顿）来证明这一信念。但直到柯西为止，没有人研究过这样得到的级数的收敛性，也没有证明它的和就是微分方程的解；当然，不存在非解析微分方程的问题。在柯西发明的各种方法证明微分方程积分的存在性中，我们遵循的（（IV）和（IV$bis$）），稍后由Lipschitz推广，对于非解析方程和积分逼近的情况特别有趣。

线性微分方程是最先引起人们注意的。莱布尼茨和雅各布·伯努利通过两个求积分对第一个阶线性方程进行积分 ((I), v. II, p. 731)；由欧拉得到常系数任意右手边的任意线性方程的一般积分((II), p. 296-354)；达朗贝尔以同样的方式求解了具有常系数的线性系统。稍后，拉格朗日（III）处理了阶$n$线性方程的一般理论，认识到齐次方程的积分是$n$积分常数的线性函数，引入了伴随方程，发现当知道特定值时齐次方程阶的约简解和方法的参数变化来求解非齐次方程。拉格朗日理论中晦涩的点（特别是关于积分的线性独立性）被柯西澄清，除了矩阵记号和初等除子理论提供的细节改进之外，柯西的阐述（IV*bis*）仍然是准确定的。

(I) 雅各布·伯努利 (Jakob Bernoulli)，歌剧，第 2 卷，日内瓦 (Cramer-Philibert)，1744 年。 (II)L。欧拉，Opera Omnia：积分计算机构，(1)t。 XII，莱比锡-柏林（托伊布纳），1914 年。 (III)J.-L。拉格朗日，苏夫尔，巴黎（Gauthier-Villars），1867-1890 年： a) 解积分计算的不同问题，t。 I、p. 471； b) Sur le mouvement des nœuds des 轨道 planétaires, t。 IV，p. 111。 (IV) A.-L。柯西，《Œuvres complètes》，(2)，t。 XI，巴黎（Gauthier-Villars），1913 年，p. 399（= 分析练习，巴黎，1840 年，t. I，p. 327）。 (IV之二) A.-L。柯西，《微分计算和积分计算》，是 M. A.-L 的方法原则。柯西，par l’abbé Moigno，t。 II，巴黎，1844 年。