证明是直接的。

通过道具。 1, $\mathbf{u}(t, t_0, \mathbf{x}_1) + \mathbf{u}(t, t_0, \mathbf{x}_2)$（或$\lambda \mathbf{u}(t, t_0, \mathbf{x}_0)$）是（4）的积分，并且在$t_0$处取值$\mathbf{x}_1 + \mathbf{x}_2$（或$\lambda \mathbf{x}_0$），因此，通过th。 IV、p. 179 中的 1 个与 $\mathbf{u}(t, t_0, \mathbf{x}_1 + \mathbf{x}_2)$（分别为 $\mathbf{u}(t, t_0, \lambda \mathbf{x}_0)$）相同；因此，映射$\mathbf{x}_0 \mapsto \mathbf{u}(t, t_0, \mathbf{x}_0)$是E自身的线性映射$C(t, t_0)$，并且可以写成$\mathbf{u}(t, t_0, \mathbf{x}_0) = C(t, t_0). \mathbf{x}_0$。

由于 $\mathscr{L}(E) \times \mathscr{L}(E)$ 到 $\mathscr{L}(E)$ 的映射 $(X, Y) \mapsto XY$ 是连续的（*Gen. Top.*, X, p. 298，第 8 条），因此 J 到 $\mathscr{L}(E)$ 的映射 $t \mapsto A(t)U$ 受到所有监管$U \in \mathscr{L}(E)$；进一步（*Gen.Top.*，X，p. 296）

所以人们可以应用th。将IV、p. 179的I代入齐次线性方程(5)；令 $V(t)$ 为在 J 上定义的该方程的积分，并等于 $t_0$ 处的$I$。其中一个有 (I, p. 6, 道具 3)

对于$t = t_0$，我们有$V(t)\mathbf{x}_0 = I\mathbf{x}_0 = \mathbf{x}_0$；到了。 IV、p. 179 中的 1 个对于所有 $\mathbf{x}_0 \in E$ 必须有 $V(t).\mathbf{x}_0 = C(t, t_0)\mathbf{x}_0$，即 $V(t) = C(t, t_0)$；这就证明了$C(t, t_0)$属于到$\mathscr{L}(E)$，在其他字中，$\mathbf{x}_0 \mapsto C(t, t_0).\mathbf{x}_0$在E上连续，并且映射$t \mapsto C(t, t_0)$是(5)的积分，在$t_0$处等于$I$。

最后，(4) 的积分$s \mapsto C(s, u).\mathbf{x}_0$在点$t$处等于$C(t, u).\mathbf{x}_0$，因此，通过定义，

对于任意 $\mathbf{x}_0 \in E$，从而第一个关系 (6)；因为$C(s, s) = I$有$C(s, t)C(t, s) = I$，对于J中的任何$s$和$t$；这证明了（*集合理论*，II，p. 86，推论）$C(t, t_0)$是E到自身的双射映射，具有逆映射$C(t_0, t)$。这样就完成了定理的证明。

有人说$C(t, t_0)$是IV、p. 178的方程(2)的*解*。

它肯定是E到$\mathscr{I}$的双射线性映射：现在$C(t, t_0)$有界于紧集$K \subset J$，因此$\| C(t, t_0).\mathbf{x}_0 \| \leq M \| \mathbf{x}_0 \|$对于任何$t \in K$和$\mathbf{x}_0 \in E$，这表明这个映射是连续的；自从

显然，逆矩阵映射也是连续的。

由(6)我们有$C(s, t) = C(s, t_0) \left( C(t, t_0) \right)^{-1}$；现在，$\mathscr{L}(E) \times \mathscr{L}(E)$的映射$(X, Y) \mapsto XY$到$\mathscr{L}(E)$是连续的，$\mathscr{L}(E)$的可逆元的（开放）群到其自身上的映射$X \mapsto X^{-1}$也是连续的（TG，IX，p. 40，道具 14）。

一个可能注那个映射

承认导数等于$-(C(t, t_0))^{-1} (dC(t, t_0)/dt)(C(t, t_0))^{-1}$（在可数集合的补集上）（I，p. 8，命题4），也就是说（由IV，p. 179，公式（5））等于$-C(t_0, t) A(t)$。

事实上，$\|A(t)x_0\| \leq k \|x_0\|$对于所有$t \in K$；在 K 上，常数函数等于 $x_0$，因此是通过等式（4）右 IV、p. 18 在 $k \|x_0\|$ 内的近似积分；通过 IV、p. 170 的公式 (15)，因此有

对于 K 中的任意 $t$ 和 $t_0$，以及 E 中的 $x_0$，等价于 $\mathscr{L}(E)$ 上范数的定义不等式 (7)。

确实，由 (5)

所以$\frac{d}{dt}(BC - CB) = A(BC - CB)$；但是$BC(t_0, t_0) - C(t_0, t_0)B = 0$，所以（IV，p. 179，第1）$BC(t, t_0) - C(t, t_0)B = 0$对于所有$t \in J$。

道具的一个重要例子。 2 是，其中 E 被赋予相对于复数* $\mathbf{C}$ 的 *域的范数向量空间的结构，并且对于每个 $t \in J$，$A(t)$ 是 E 的自同态对于这个向量空间结构；这意味着 $A(t)$ 与 E 的连续自同态 $x \mapsto tx$ 通勤（对于向量空间结构 超过 $\mathbf{R}$）；那么$C(t, t_0)$与这个自同态交换，这意味着对于J中的任何$t$和$t_0$，映射$C(t, t_0)$是E上范数向量空间结构的连续自同态 $\mathbf{C}$。

方法导致公式(10)，其中将函数$\mathbf{z}$作为新的未知数函数，通常被称为“参数变化的方法”。

事实上，与每个$\mathbf{x}_0 \in E$关联积分$t \mapsto C(t, t_0).\mathbf{x}_0$的映射是$E$到$\mathscr{I}$的同构（IV，p. 180，相关1和IV，p. 181，道具2）。

如果$(\mathbf{e}_j)_{1 \leq j \leq n}$是$E$超过$\mathbf{C}$的任何基，则$n$整的

因此形式是一个基本的系统；如果将$C(t, t_0)$与矩阵相对于基$(\mathbf{e}_j)$进行识别，则$\mathbf{u}_j$的积分恰好是矩阵$C(t, t_0)$的*列*。 (4) 在点 $t_0$ 取值 $\mathbf{x}_0 = \sum_{j=1}^n \lambda_j \mathbf{e}_j$ 的积分则为 $C(t, t_0).\mathbf{x}_0 = \sum_{k=1}^n \lambda_k \mathbf{u}_k(t)$。

给定（4）一个项的*任何*$n$整的$\mathbf{u}_j$（$1 \leq j \leq n$），这些$n$积分在点$t \in J$相对于$E$的基$(\mathbf{e}_j)_{1 \leq j \leq n}$的*行列式*，行列式

$n$ 向量 $\mathbf{u}_j(t)$ 相对于基 $(\mathbf{e}_j)$ (Alg., III, p. 522)。其中一个有 (Alg., III, p. 523, 道具 2)

通过道具。 IV、p. 184 的 4，对于$(\mathbf{u}_j)_{1 \leq j \leq n}$ 作为 (4) 积分的基本系统，$\mathbf{u}_j$ 的行列式 $\Delta(t)$ 在某个点 $t_0$ 处为 $\neq 0$ 是必要且充分的$J$； 公式 (14) 然后表明$\Delta(t) \neq 0$在$J$的每点处，在其他字中，向量$\mathbf{u}_j(t)$($1 \leq j \leq n$)始终是线性独立的。

事实上，如果有人将 $\delta(t) = \det \left( C(t, t_0) \right)$ 放入公式中，则可以得到行列式的导数 (I, p. 8, 公式 (3))

即由IV、p. 179满足$C(t, t_0)$的微分方程(5)，

由于 $\delta(t_0) = 1$ 公式 (15) 由标量线性方程积分的表达式 (12) (IV, p. 183) 得出。

指定 (4) 确定该方程的所有积分的 $n$ 线性独立积分，正如我们刚才所看到的。现在我们将证明，对于$1 \leq p \leq n$，方程（4）约化的$p$线性独立积分$\mathbf{u}_j$（$1 \leq j \leq p$）的知识，将该方程与$n - p$标量方程的齐次线性系统积分。假设在区间 $K \subset J$ 上有 $n - p$ 映射

$K$ 到 $E$，它们是 $K$ 上受监管的函数的原语，因此，对于每个 $t \in K$，$n$ 向量 $\mathbf{u}_j(t)$ ($1 \leq j \leq n$) 形式基 $E$。

For every point $t_1 \in J$ there always exists an interval $K$, a neighbourhood of $t_1$ in $J$, on which there are defined $n - p$ functions $\mathbf{u}_{p+k}$ ($1 \leq k \leq n - p$) having the preceding properties. For, let $(\mathbf{e}_i)_{1 \leq i \leq n}$ be a basis of $E$; there exist $n - p$ vectors of this basis which form with the $\mathbf{u}_j(t_1)$ ($1 \leq j \leq p$) a basis of $E$ (Alg., II, p. 292, th. 2); suppose for example that they are $\mathbf{e}_{p+1}, \ldots, \mathbf{e}_n$; since the determinant $\det(\mathbf{u}_1(t), \ldots, \mathbf{u}_p(t), \mathbf{e}_{p+1}, \ldots, \mathbf{e}_n)$ (with respect to the basis $(\mathbf{e}_i)$) is a continuous function of $t$ and does not vanish for $t = t_1$ there exists a neighbourhood $K$ of $t_1$ on which it does not vanish; one can then take $\mathbf{u}_{p+k}(t) = \mathbf{e}_{p+k}$ ($1 \leq k \leq n - p$) for $t \in K$.

存在阶$n$的可逆矩阵$B(t)$，其元素是$K$上受管制函数的原语，使得$B(t).\mathbf{e}_j = \mathbf{u}_j(t)$对应于$1 \leq j \leq n$。让我们把$x = B(t).y$；那么$y$满足方程$\frac{dB}{dt}.y + B(t).\frac{dy}{dt} = A(t)B(t).y$，也可以写成

其中 $H(t) = (h_{jk}(t))$ 是矩阵，并且 $K$ 上有受监管的条目。通过 $B(t)$ 的定义，该线性方程允许 $p$ 常数向量 $\mathbf{e}_j$ ($1 \leq j \leq p$) 作为积分；立即一个结论必然 $h_{jk}(t) = 0$ 对应 $1 \leq k \leq p$；因此，$y$的分量$y_k$（相对于基$(\mathbf{e}_i)$）以及指标$k \geq p + 1$满足是$n - p$方程的齐次线性系统；一旦确定了这个系统的解，指标$j \leq p$的$dy_j/dt$与$y_k$的函数与$k \geq p + 1$是线性的，所以是已知的，并且这些函数的原语将给出$y_j$ 指标$j \leq p$。

特别是，当知道IV、p. 183的方程（4）的$n - 1$线性无关积分时，将该方程约化积分到单个齐次标量方程，然后对$n$基元求值。

其中 $-B(t)$ 是 $A(t)$ 的转置。

方程（16）称为（4）的*伴随*；显然 (4) 是 (16) 的伴随。将矩阵$B(t)$的元素调节到J上的函数或$t$，上面在线性方程组上得到的结果适用于(16)。特别是，(16) 在点 $t_0$ 取值 $\mathbf{x}_0^*$ 的积分可写为 $H(t, t_0).\mathbf{x}_0^*$，其中 $H(t, t_0)$ 是 $\mathrm{E}^*$ 自身的双射线性映射，与方程的积分相同

需要值 $I$ 点 $t_0$。结果有（IV、p. 179的记号）

对于任意 $\mathbf{x}_0 \in \mathrm{E}$ 和 $\mathbf{x}_0^* \in \mathrm{E}^*$，这表明

（$C(t, t_0)$的*对梯度*）。特别是，如果知道伴随方程 (16) 的积分的基本系统矩阵 $H(t, t_0)$ 确定的，则 $C(t, t_0)$ 也已确定，因而，方程 (4) 的*所有*积分也已确定。