1° 对于$I$到$H$函数$t \mapsto f(t, u(t))$的每个连续映射$u$，在$I$上调节；更准确地说，函数在点$t_0 \in I$的右（或左）极限等于函数$t \mapsto f(t, u(t_0))$在点$t_0$的右（或左）极限。

2° 如果$(u_n)$是$I$的映射的序列进入$H$，并且在$I$的每个紧凑子集上均匀收敛到$I$的连续函数$u$进入$H$，则函数 $t \mapsto f(t, u_n(t))$ 的序列在$I$ 的每个紧凑子集上一致收敛到$f(t, u(t))$。

1 令$c$为$f(t, u(t_0))$在点$t_0$处的右极限；对于每个$\varepsilon > 0$，$I$中都有一个$t_0$的紧凑邻域$V$，这样$\|f(t, u(t_0)) - c\| \leq \varepsilon$适用于$t \in V$和$t > t_0$。另一方面，存在$\delta > 0$使得关系

对所有$s \in V$暗示$\|f(s, x) - f(s, u(t_0))\| \leq \varepsilon$；如果$W \subset V$是$I$中$t_0$的邻域，使得每个$t \in W$都有$\|u(t) - u(t_0)\| \leq \delta$，则$t \in W$和$t > t_0$有$\|f(t, u(t)) - c\| \leq 2\varepsilon$，这证明$c$是右极限 $f(t, u(t))$ 点 $t_0$。

2 令$K$为$I$的紧子集；由于$u$在$I$上连续，$u(K)$是$H$的紧子集；对于每一个$\varepsilon > 0$和$x \in u(K)$，都存在数$\delta_x$，这样，对于每一个$y \in H, \|y - x\| \leq \delta_x$和每一个$t \in K$，都有$\|f(t, y) - f(t, x)\| \leq \varepsilon$。存在点 $x_i \in u(K)$ 的有限数，使得具有中心 $x_i$ 和半径 $\frac{1}{2}\delta_{x_i}$ 形式的封闭球覆盖$u(K)$；让$\delta = \operatorname{Min}(\delta_{x_i})$。到假设时，存在整数$n_0$，因此对于$n \geq n_0$，每$t \in K$就有$\|u_n(t) - u(t)\| \leq \frac{1}{2}\delta$。现在，对于每个 $t \in K$ 都存在指标 $i$ 这样

因而，每 $t \in K$ 和每 $n \geq n_0$ 都有 $\|u_n(t) - x_i\| \leq \delta_x$、从而 $\|f(t, u_n(t)) - f(t, u(t))\| \leq 2\varepsilon$

对于其余部分，截面I将表示包含在$\mathbf{R}$中的区间，不会减少为单个点，$H$包含在标准化空间$E$中的开非空集合，并且$f$映射从$I \times H$变为$E$满足引理1的假设。

每$t \in I$。

事实上，到引理 1，如果$u$是(1)在$I$上的解，则$f(t, u(t))$受到调节，因而(6)的右侧被定义并且对于每个$t \in I$等于$u(t)$。相反，如果 $u$ 是满足 (6) 的连续函数，则 $f(t, u(t))$ 由引理 1 调节，因而 $u$ 的导数等于 $f(t, u(t))$，除了在可数子集的点处$I$。

事实上，这样的解$u$是连续函数$f(t, u(t))$的原语（II，p. 66，道具3）。

此外，我们注，$I \times H$上的连续函数$f$满足引理1的条件（*Gen.Top.*，X，p. 286，cor.3）。

接下来我们任意取选择$t_0 \in I$和$x_0 \in H$，并考察$I$上（或$I$中$t_0$的邻域）是否存在（1）的解，取值$x_0$在点$t_0$（或者，结果相同，（6）的解）。

我们假设 $t_0$ 不是 J 的右端点，并证明命题对于左端点为 $t_0$ 的区间。令$\mathscr{M}$为(1)的解的集合到$\varepsilon$之内，其中每个在S中取值，在$t_0$等于$x_0$，并定义在J中包含的半开区间$[t_0, b[$上（该区间取决于近似解正在考虑中）。首先我们证明 $\mathscr{M}$ 不为空。设c在$t_0$处是$f(t, x_0)$的右极限；通过引理 1 (IV, p. 165) 函数 $f(t, x_0 + c(t - t_0))$ 在 $t_0$ 处有右极限等于 c，因此函数 $x_0 + c(t - t_0)$ 的限制为足够小的半开区间$[t_0, b[$将属于变为$\mathscr{M}$。

我们通过关系“u是v的限制”阶集合$\mathscr{M}$，并证明$\mathscr{M}$是归纳性的（集合理论，III，p. 154）。令$(u_\alpha)$为$\mathscr{M}$和$[t_0, b_\alpha[$的总有序子集，$u_\alpha$定义的区间：对于$b_\alpha \leq b_\beta$函数$u_\beta$因此是$u_\alpha$的扩张。区间$[t_0, b_\alpha[$中的并是J中包含的区间$[t_0, b[$，对于每个$\alpha$，在$[t_0, b[$上定义的函数u，重合和$u_\alpha$在$[t_0, b_\alpha[$上定义； $b_\alpha$ 中，有递增序列 $(b_{\alpha_n})$ 趋于 b；因为你在$[t_0, b_{\alpha_n}[$函数上同意$u_{\alpha_n}$，所以你承认$[t_0, b[$的可数子集的补集的导数满足（7）点，因此集合$(u_\alpha)$的上等$\mathscr{M}$。

根据Zorn的引理（集合理论，III，p. 154，第2），$\mathscr{M}$承认极大元素$u_0$；我们将证明，如果$[t_0, t_1[$是定义$u_0$的区间，则$t_1$是J的右侧端点，否则$t_1 - t_0 \geq r/(M + \varepsilon)$。我们通过反证法来论证，假设这些条件都不成立；首先我们证明可以通过点 $t_1$ 的连续性来扩展 $u_0$；事实上，对于 $[t_0, t_1[$ 中的任何 s 和 t，

平均值定理；柯西准则表明$u_0$在点$t_1$处承认左极限$x_1 \in S$。现在令$c_1$为函数$f(t, x_1)$中$t_1$处的右极限；一个有 $\|c_1\| \leq M$；与证明开头相同的论点表明，可以通过函数$x_1 + c_1(t - t_1)$将扩展$u_0$转换为左端点为$t_1$的半开区间，从而将函数属于扩展为$\mathscr{M}$，即荒谬的。这就证明了命题。

当 f 在 $J \times S$ 一个可以证明上一致连续时。 3 不使用 Zorn 的引理（IV，p. 199，练习 1a））。

事实上，如果 u 是这个集合中的任何函数并且 s 和 t 是 K 的两个点，那么平均值定理

确实，通过道具。 3，一旦$n$足够大，在$1/n$内就有（1）的近似解$u_n$，定义在$K$上，值在$S$中，并且等于$t_0$处的$x_0$。此外，从 $n$ 的某个值开始，$u_n(K)$ 包含在一个具有中心 $x_0$ 和半径 $< r$ 的“封闭”球中，与 $n$ 无关。 $u_n$的集合是等连续的（命题4），并且由于$E$是有限维的集合$S$在$E$中相对紧；所以对于$u_n(t)$的每一个$t \in K$集合来说，在$E$中相对紧凑。由阿斯科利的定理（*Gen.Top.*，X，p. 290，第2）$u_n$的集合相对紧凑，从$K$到映射的空间$\mathscr{F}(K; E)$到$E$ 赋予制服范数。因此，从$(u_n)$的$(u_{n_k})$中提取出序列，它在$K$上均匀收敛到连续的函数$u$。一个有$u(K) \subset S$，所以$t \mapsto f(t, u(t))$定义在$K$上；通过引理 1 (IV, p. 165)，$f(t, u_{n_k}(t))$在$K$上均匀收敛到$f(t, u(t))$；由 (IV, p. 4, 公式 (7))，$u_{n_k}$ 是函数的原语，在 $K$ 上统一趋向于 $f(t, u(t))$，因此 (II, p. 52, th. 1) $u$ 是 $K$ 上 (1) 的解，并且等于点 $t_0$ 上的 $x_0$。

哪里

从关系 $\|u'(t) - f(t, u(t))\| \leq \varepsilon_1$，对可数集合的补集有效，可以从平均值值定理推断出，

和类似地

从而

由 Lipschitz 条件 (8) 一有

从而，放入$w(t) = \|u(t) - v(t)\|$，

因此命题是以下引理的推论：

(12)

其中$\varphi$是$[t_0, t_1]$上受监管的函数$\geq 0$，那么，对于$t_0 \leq t \leq t_1$，

(13)

把$y(t) = \int_{t_0}^t k(s) w(s) \, ds$； 关系 (12) 意味着

(14)

是可数集合的补集。

把$z(t) = y(t) \exp \left( - \int_{t_0}^t k(s) \, ds \right)$；那么 (14) 等价于

在应用上，值定理（I，p. 15，第2个）到这个不等式，并注意到$z(t_0) = 0$，我们得到

whence

并且由于 $w(t) \leq \varphi(t) + y(t)$ 因此得到 (13)。

(15)

当$t \geq t_0$时，这个不等式实际上是(9)的直接的推论；要证明$t \leq t_0$，只需将其应用于方程即可

由变量 $t = -s$ 的变换由 (1) 获得。

进一步假设 $\mathbf{g}$ 是 $I \times H$ 上常数 $k > 0$ 的 Lipschitz。在这些情况下，如果 $\mathbf{u}$ 是 $\mathbf{x}' = \mathbf{f}(t, \mathbf{x})$ 的近似解，在 $\varepsilon_1$ 范围内，定义在 $I$ 上，值在 $H$ 中，并且 $\mathbf{v}$ 是 $\mathbf{x}' = \mathbf{g}(t, \mathbf{x})$ 的近似解范围内$\varepsilon_2$，在$I$上定义，值在$H$中，那么，对于所有$t \in I$

(17)

确实

对于$I$的可数子集的$I$补集中的所有$t$；在其他字中，$\mathbf{u}$ 是 $\mathbf{x}' = \mathbf{g}(t, \mathbf{x})$ 的近似解，且在 $\alpha + \varepsilon_1$ 之内，因此不等式 (17) 遵循应用命题。 5 个IV、p. 169。

事实上，对于足够小的$\varepsilon > 0$，(1)的大约解到$\varepsilon$之内的集合$F_\varepsilon$，在K上定义，值在S中，并且等于点$t_0$处的$\mathbf{x}_0$，不为空（IV，p. 166，道具 3）；进一步，如果 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 属于到 $F_\varepsilon$ 那么，通过 (15) (IV. p. 170)

对于所有$t \in K$，所以集合$F_\varepsilon$形式是一个过滤器基$\mathscr{G}$，它在$K$上均匀收敛到连续的函数$w$，等于$x_0$ $t_0$；同样，$w$在$S$中取值，因为，对于$\varepsilon$足够小，函数$u \in F_\varepsilon$在$S$中包含的封闭球中取值。由于$f(t, u(t))$沿$\mathscr{G}$均匀趋于$K$至$f(t, w(t))$，因此$w$满足IV、p. 165的式（6），因此满足式（1）的解。 解的唯一性紧接在IV、p. 170的不等式(15)，其中取$\varepsilon_1 = \varepsilon_2 = 0$和$u(t_0) = v(t_0)$。

我们可以说，在$I \times H$上定义的函数$f$是局部Lipschitz，如果对于$I \times H$的每个点$(t, x)$，存在$t$的邻域$V$（相对于$I$）并且$x$ 的邻域 $S$，使得 $f$ 是 $V \times S$ 上的 Lipschitz（常数 $k$ 取决于 $V$ 和 $S$）。根据 Borel-Lebesgue 定理，对于每个紧凑区间 $J \subset I$ 和每个点 $x_0 \in H$，都存在一个开球 $S$ 和中心 $x_0$，包含在 $H$ 中，使得 $f$ 是 Lipschitz $J \times S$；因此$f$满足IV、p. 3的假设引理 1。当$f$是$I \times H$上的局部Lipschitz时，我们可以说方程$x' = f(t, x)$是$I \times H$上的局部Lipschitz。

我们将概括并澄清这一点。 1 of IV, p. 10 对于局部 Lipschitz 方程；我们将自己限制在$t_0$是区间$I$的左端点的情况；人们可以很容易地过渡到$t_0$是$I$的任意点的情况（cf.IV，§IV??，p. 9，推论）。

$1^\circ$ 对于$x_0 \in H$，存在最大的区间$J \subset I$，左侧端点$t_0 \in J$，其上存在方程$x' = f(t, x)$的积分$u$，在$H$中取值，并在点处等于$x_0$ $t_0$；这个积分是唯一的。

$2^\circ$ 如果$J \neq I$则$J$是有限长度的半开区间$[t_0, \beta[$；此外，对于每个紧凑子集 $K \subset H$ 集合 $\overline{u}(K)$ 都是$\mathbf{R}$ 的紧凑子集。

$3^\circ$ 如果$J$有界，且$f(t, u(t))$有界于$J$，则$u(t)$在$J$的右端点有左极限$c$；此外，如果$J \neq I$，则$c$是$E$中$H$的边界点。

$1^\circ$令$\mathfrak{M}$为间隔$L$的集合（不减少为单个点），其左端点$t_0 \in L$包含在$I$中，并且使得在$L$上有(1)的解 (IV, p. 163)，值在$H$，等于$x_0$在$t_0$；到了。 1 (IV, p. 171) 集合 $\mathfrak{M}$ 不为空。令$L$和$L'$为两个区间属于到$\mathfrak{M}$，并假设对于例，$L \subset L'$；如果$u$和$v$是分别在$L$和$L'$定义的(1)的两个积分，值在$H$，并且在$t_0$等于$x_0$，我们将看到$v$是扩张共 $u$。事实上，令 $t_1$ 为 $t \in L$ 的集合的上确界，使得 $u(s) = v(s)$ 对于 $t_0 \leq s \leq t$；我们将证明$t_1$是$L$的右侧端点。如果不是这样，我们将通过连续性得到$u(t_1) = v(t_1)$，并且$x_1 = u(t_1)$将属于到$H$；由于 $f$ 是本地 Lipschitz，th。由图1可知，在$t_1$的邻域上定义的(1)整的，在$H$中值且在$t_1$中等于$x_1$；因此，假设$t_1$不是$L$的右侧端点是矛盾的。现在我们看到，如果 $J$ 是区间 $L \in \mathfrak{M}$ 的并，则存在且仅有一个 (1) 的积分 $u$，定义在 $J$ 上，值在 $H$ 中，并且等于 $x_0$ 在 $t_0$ 中。

2）假设J≠I，设β为J的右端点；如果 β 是 I 的右侧端点，则 β ∈ I （因此 β 是有限的）且 J = [t_0, β[ by 假设。假设 β 不是 I 的右侧端点；如果 β ∈ J 则 u(β) = c 属于至 H；到了。 1 在 H 中存在 (1) 与值的积分，定义在区间上

且等于 β 处的 c；那么 J 就不会是 $\mathfrak{M}$ 中的区间的最大的，这是荒谬的；所以 J = [t_0, β[.

如果 K 是 H 的紧致子集，则 $\bar{u}^{-1}(K)$ 在 J 中是闭的；我们将看到，存在 γ ∈ J 使得 $\bar{u}^{-1}(K)$ 包含在 [t_0, γ ] 中，这将证明 $\bar{u}^{-1}(K)$ 是紧的。如果不是，则存在点 c ∈ K，使得 (β, c) 是点 (t, u(t)) 的集合的簇点，使得 t < β 且 u(t) ∈ K。由于 β ∈ I 且 c ∈ H，因此存在邻域 I 中 β 的V，以及 H 中包含中心 c 和半径 r 的开球 S，使得 f 为 Lipschitz，且以 V × S 为界；令 M 为 $\|f(t, x)\|$ 在集合上的上界。到假设时，存在 t_1 ∈ J 使得 $\beta - t_1 < r/2M$、$t_1 \in V$ 和 $\|u(t_1) - c\| \leq r/2$； th。图 1 显示存在且仅有一个 (1) 的积分，其中 H 中的值定义在区间 [t_1, t_2] 包含于 β 上，且在 t_1 处等于 u(t_1)；由于这个区间重合与 u 在区间 [t_1, β[ 上，因此 J = [t_0, β[ 不是 $\mathfrak{M}$ 中的最大的区间，这是荒谬的。

3 假设 J 有界且 $\|f(t, u(t))\| \leq M$ 在 J 上；然后 $\|u'(t)\| \leq M$ 对 J 的可数子集的补集；然后，对于 J 中的任何 s 和 t，通过值定理、$\|u(s) - u(t)\| \leq M |s - t|$ 的平均值；根据柯西准则，u 在 J 的右端点 β 处有一个左极限 c。如果 J ≠ I，则 c 不能属于到 H，因为通过在 β 处连续性扩展 u，u 将是 (1) 与 H 中的值的积分，在区间 [t_0, β] 上定义并等于 x_0 t_0;那么 J = [t_0, β]，与我们在 2 中看到的相矛盾。