习题 17, § 1

To study the equation $x' = \sin t x$ (IV, p. 174, Example 4) one puts $u = xy$ and considers the solutions of the corresponding equation $u' = \frac{u}{t} + t \sin u = F(t, u)$ which are $> 0$ for $t > 0$ (one has $u(0) = 0$ for every solution of this kind). 对于每个整数$k \geq 1$，用$\Gamma_k$表示由关系$(2k-1)\pi < u < 2k\pi, t \sin u + \frac{u}{t} = 0$定义的曲线；由$D_k$由$(2k-1)\pi < u < 2k\pi, t \sin u + \frac{u}{t} < 0$定义的开集合；并且通过$E$对$(t, u)$的集合中的$\overline{D}_k$的并进行补集，使得$t > 0$和$u > 0$。

a) 证明每一条与直线 $u = 2k\pi$ 相交的积分曲线也与直线 $u = (2k+1)\pi$ 相交。

b) 如果积分曲线$C$在点$(t_0, u_0)$处与曲线$\Gamma_k$相交，则对于$0 < t < t_0$，函数$u$为递增，对于$t > t_0$为递减，并且，当$t$趋于$+\infty$、$u(t)$趋于$(2k-1)\pi$，$C$在$t > t_0$保持在$D_k$。

c) 证明$E$中不存在积分曲线$C$，且当$t$趋于$+\infty$时，$u(t)$趋于$+\infty$。 （形式沿$x$和$u$沿$C$的微分方程$dx/du = G(u, x)$。如果$C$完全落在$E$中，则$x^2 > u$对于$u = (2k-\frac{1}{2})\pi$；另一方面，利用前面的微分方程估计$x^2(u)$，并得到矛盾。）

d) 证明对于每一个整数$k$，存在且只有一条积分曲线$C$包含在$E$中，并且当$t$趋向于$+\infty$时，$u(t)$趋向于$2k\pi$。 （将 $v = 2k\pi - u$ 放入方程 $v' = \frac{v - 2k\pi}{t} + t \sin v$；将该方程与 $v' = \frac{v - 2k\pi}{t} + t v$ 进行比较，其中 $t$ 趋向于 $+\infty$，$v$ 趋于 0。）