习题 10, § 1

令 $f$ 为定义在 $\mathbf{R}^2$ 的框 $P : |t - t_0| < a, |x - x_0| < b$ 上的连续有界实数函数。设 M 为 $|f(t, x)|$ 在 P 上的上确界，并设 $I = ]t_0 - \alpha, t_0 + \alpha[$，其中 $\alpha = \inf(a, b/M)$。证明在I上定义的$x' = f(t, x)$积分的集合$\Phi$的上下包络线并在点$t_0$处取值$x_0$，又是$x' = f(t, x)$的积分，称为的*极大*和*最小*积分该方程相应的到点 $(t_0, x_0)$（注集合 $\Phi$ 等连续且对于I 一致收敛的拓扑是封闭的）。

对于每个$\tau \in I$，令$\xi$为点$\tau$处的最小积分（相应的到$(t_0, x_0)$）的值。证明相应的到点 $(\tau, \xi)$ 的最小积分与 $\tau > t_0$ 和形式的区间形式 $[\tau, \tau + h[$ 上的最小积分相应的到点 $(t_0, x_0)$ 相同$]\tau - h, \tau]$ 如果$\tau < t_0$。

由此推论，存在最大的开区间$]t_1, t_2[$包含于$t_0$且包含在$]t_0 - a, t_0 + a[$中，使得最小积分$u$相应的到$(t_0, x_0)$可以通过连续性延展到$]t_1, t_2[$，因此在每$]t_1, t_2[$的点$t$、值$u(t)$属于到$]x_0 - b, x_0 + b[$，并且$u$与相应的到点$(t, u(t))$在区间上的最小积分相同如果$t > t_0$，则形式$[t, t + h[$；如果$t < t_0$，则形式$]t - h, t]$；进一步证明$t_1 = t_0 - a$（分别$t_2 = t_0 + a$）或$\lim_{t \to t_1^-} u(t) = x_0 \pm b$（分别$\lim_{t \to t_2^+} u(t) = x_0 \pm b$）。