习题 3, § 1

令 $S \subset H$ 为开球，其中心 $x_0$ 和半径为 $r$，并且 $f$ 为 Lipschitz 函数，用于 $I \times S$ 上的常数 $k > 0$；进一步假设$t \mapsto f(t, x_0)$有界于$I$，并用$M_0$表示$\|f(t, x_0)\|$在$t \in I$上的上界。证明对于所有$t_0 \in I$，存在$x' = f(t, x)$的积分$u$，$S$中的值，等于点$t_0$处的$x_0$，并在$I$的交和区间上定义$]t_0 - \lambda, t_0 + \lambda[$，哪里

（注一个人有 $\|u(t) - x_0\| \leq M(t - t_0) + k \int_{t_0}^t \|u(s) - x_0\| \, ds$ 代表 $t > t_0$）。