习题 9, § 1

令I为$\mathbf{R}$中的区间，$t_0$点为I，令S为半径为r的球，令E中的中心$x_0$，令G为$I \times S$有界映射的有范空间代入E，这样的映射$f$的范数是$\|f(t, x)\|$在$I \times S$上的上等$\|f\|$。对于每个$M > 0$，令$G_M$为G中的球$\|f\| \leq M$。令L为G的子集，由$I \times S$的利普希茨映射进入E；对于每个函数$f \in L \cap G_M$，令$u = U(f)$为$x' = f(t, x)$的积分，使得$u(t_0) = x_0$，其中值在S中，并定义在I的交$J_M$和区间$\left[ t_0 - \frac{r}{M}, t_0 + \frac{r}{M} \right]$（第17⟧）上。 1）。

a) 设$(f_n)$为函数属于到$L \cap G_M$中的序列；如果$f_n$均匀收敛于$I \times S$到函数$f$，则$u_n = U(f_n)$的序列的每个簇点（对于紧凑收敛的拓扑）在有界映射的空间F中$J_M$代入E，是$x' = f(t, x)$在点$t_0$取值$x_0$的积分。相反，在 $J_M$ 上定义的 $x' = f(t, x)$ 的每个积分 v 以及$v(t_0) = x_0$，也是方程 $x' = g(t, x)$ 的积分，其中 g 是 Lipschitz，并且任意接近 G 中的 $f$（考虑方程

b) 进一步假设 E 是 有限 维数。证明如果 $f \in G_M$ 满足引理 1 的假设，则对于值的每个 $t \in J_M$ 集合 $H(t)$ 在点 t 的 $x' = f(t, x)$ 积分取值 $x_0$在点$t_0$是一个*紧凑*和*连通*集合（要查看$H(t)$是闭合的，使用Ascoli的定理；要查看它是连通的，使用*a*）：如果$x_1, x_2$是两个点 $H(t)$ 和 $\varepsilon > 0$ 是任意的，表明存在函数 g 属于到 $L \cap G_M$ 的连通集合 $\Phi$，使得对于每个函数 $g \in \Phi$ 都有 $\|f - g\| \leq \varepsilon$，并且点t处的函数$U(g)$值集合连接以及包含$x_1$和$x_2$。沿着超滤器更细比$\mathbf{R}$中0的邻域过滤器结论由经过到极限。