习题 10, § 2

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实变函数, IV, 206

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设 $t \mapsto X(t)$ 为映射，从区间 $J \subset \mathbf{R}$ 到阶 $n$ 的复数矩阵的空间。假设导数 $t \mapsto X'(t)$ 存在并且在 $J$ 上连续，并且对于每个 $t \in J$ 都有 $X(t)X'(t) = X'(t)X(t)$ 。

a) 进一步假设 $X(t)$ 中的每个 $t \in J$ 特征值都是不同的。证明存在一个常数可逆矩阵 $P_0$ ，使得 $P_0 X(t) P_0^{-1} = D(t)$ ，其中 $D(t)$ 为对角矩阵，因此 $X(t_1)$ 和 $X(t_2)$ 对于值 $t_1, t_2$ $t$ 的每个对都可交换在 $J$ 。（在 $J$ 和形式的每个点的邻域上写出 $X(t) = P(t)D(t)P(t)^{-1}$ 满足 $P(t)$ 满足的微分方程。）

b) 矩阵

X(t) = \begin{pmatrix} t^2 & t^3 & t^4 \\ -2t & -2t^2 & -2t^3 \\ 1 & t & t^2 \end{pmatrix}

与其导数可交换，但 a) 的结论不成立。*

解答

尚未写出解答。

被以下引用

无。

引用了

无。