习题 8, § 2

令$G$是代数且单位$\mathbf{e}$超过域$\mathbf{R}$。

a) 设 $t \mapsto \mathbf{a}(t)$ 为区间 $J \subset \mathbf{R}$ 上的调节函数，值位于 $G$ 内。证明线性方程 $d\mathbf{x}/dt = \mathbf{a}(t)\mathbf{x}$ 在点 $t_0 \in J$ 处取值 $\mathbf{e}$ 的积分 $\mathbf{u}$ 在 $J$ 上可逆，并且其逆是方程 $d\mathbf{x}/dt = -\mathbf{x}\mathbf{a}(t)$ 的解（如果 $\mathbf{v}$ 是积分）最后一个方程在点$t_0$处取值$\mathbf{e}$，考虑$\mathbf{uv}$和$\mathbf{vu}$满足的线性方程）。推出，对于每个$\mathbf{x}_0 \in G$，$d\mathbf{x}/dt = \mathbf{a}(t)\mathbf{x}$在点$t_0$处取值$\mathbf{x}_0$的积分等于$\mathbf{u}(t)\mathbf{x}_0$。

b) 令$\mathbf{a}(t), \mathbf{b}(t)$为$J$上的两个调节函数，以及$\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$为方程$d\mathbf{x}/dt = \mathbf{a}(t)\mathbf{x}, d\mathbf{x}/dt = \mathbf{x}\mathbf{b}(t)$在点$t_0$取值$\mathbf{e}$的积分。证明方程$d\mathbf{x}/dt = \mathbf{a}(t)\mathbf{x} + \mathbf{x}\mathbf{b}(t)$取值$\mathbf{x}_0$在点$t_0$处的积分等于$\mathbf{u}(t)\mathbf{x}_0 \mathbf{v}(t)$。

c) 设$\mathbf{a}(t), \mathbf{b}(t), \mathbf{c}(t), \mathbf{d}(t)$为两个线性方程的$J$、系统的四个调节函数、$(\mathbf{u}, \mathbf{v})$解

证明，如果 $v$ 在 $J$ 上可逆，则 $w = uv^{-1}$ 是方程 $d\mathbf{z}/dt = \mathbf{b}(t) + \mathbf{a}(t)\mathbf{z} - \mathbf{z}\mathbf{d}(t) - \mathbf{z}\mathbf{c}(t)\mathbf{z}$（“Ricatti 方程”）的积分；反之亦然。推导出最后一个方程在 $J$ 上的每个积分，在点 $t_0$ 处取值 $x_0$，是形式 $(A(t)x_0 + B(t)e)(C(t)x_0 + D(t)e)^{-1}$，其中 $A(t)$、$B(t)$、$C(t)$ 和$D(t)$从$J$到$\mathscr{L}(E)$满足连续映射恒等式$U.(xy) = (U.x)y$。

d) 令$w_1$为$d\mathbf{z}/dt = \mathbf{b}(t) + \mathbf{a}(t)\mathbf{z} - \mathbf{z}\mathbf{d}(t) - \mathbf{z}\mathbf{c}(t)\mathbf{z}$在$J$上的积分；表明如果 $w$ 是该方程的另一个积分，使得 $w - w_1$ 在 $J$ 上可逆，则 $w - w_1$ 可以用方程 $d\mathbf{x}/dt = -(d + cw_1)\mathbf{x}$ 和 $d\mathbf{x}/dt = \mathbf{x}(\mathbf{a} - w_1\mathbf{c})$ 的积分的项来表示（考虑由 $(w - w_1)^{-1}$ 满足的方程，并使用$b$))。