习题 1, 附录 0

令$\mathscr{K}$为Hardy域，使得对于$+\infty$的邻域上的每个函数$f \in \mathscr{K}$不相同的零，存在一个$\lambda > 0$使得

（*m* 整数 独立于 $f$）。

a) 令$u_1, u_2, \ldots, u_p$为形式$u_k = \log |z_k|$的$p$函数，其中$z_k \in \mathscr{K}$不是$+\infty$的邻域上的零。证明对于通过将函数 $u_k$ ($1 \leq k \leq p$) 邻接而获得的 Hardy 域 $\mathscr{K}(u_1, u_2, \ldots, u_p)$ 的每个函数 $g$（不是 $+\infty$ 邻域上的零） $\mathscr{K}$，存在数 $\mu > 0$使得

（约化对于$g$是$u_k$中的多项式，系数在$\mathscr{K}$中并通过归纳对$p$进行论证，然后，对于$p = 1$，对归纳对多项式的次数进行论证$g$，如引理 2 of V、p. 248）。

b) 令$u_k$ ($1 \leq k \leq p$) 为形式 $u_k = \exp(z_k)$ 的$p$ 函数，其中$z_k \in \mathscr{K}$。证明对于哈代域$\mathscr{K}(u_1, u_2, \ldots, u_p)$的每个函数$g$在$+\infty$的邻域上不完全相同的零，存在数$\mu > 0$使得

（类似方法）。

c) 推论如果$f$是一个(H)函数，其中定义序列与$n$项，并且与$+\infty$的邻域上的零不相同，则存在数 $\lambda > 0$ 这样