哈迪域。 (H) 函数

(1)

则存在一个区间 $[x_1, +\infty[$ 在其上 $y$ 没有变换符号。

事实上，让我们把 $z(x) = y(x) \exp \left( - \int_{x_0}^x a(t) \, dt \right)$ (cf. IV, p. 183);那么，通过(1)，$z'(x) = b(x) \exp \left( - \int_{x_0}^x a(t) \, dt \right)$。如果 $x \geqslant x_0$ 为 $b(x) \geqslant 0$，则 $z$ 在该区间上为递增，因此要么在所有该区间上为 $< 0$，要么在区间 $[x_1, +\infty[$ 上为零，要么在区间 $[x_1, +\infty[$ 上为 $> 0$；由于 $y$ 与 $z$ 具有相同的符号，因此在本例中证明了命题。如果 $b(x) \leqslant 0$ 对应 $x \geqslant x_0$，则论证类似。

如果 $p(u)$ 在 $[x_0, +\infty[$ 上具有与零相同的系数，或者如果 $p(u)$ 在 $u$ 中为次数 0，则命题是平凡的，因为 $\mathfrak{K}$ 中的任何函数在区间上具有恒定符号$[x_1, +\infty[$。假设$p(u)$是次数$n > 0$； $p(u)$ 的首项系数 $c$ 则在区间 $[\alpha, +\infty[$ 上为 $\neq 0$；因此，我们可以写 $p(u) = c(u^n + c_1 u^{n-1} + \cdots + c_n)$，其中 $c, c_1, c_2, \ldots, c_n$ 是 函数 属于到 $\mathfrak{K}$，并且在 $[\alpha, +\infty[$ 上可微；所以只要证明引理为$c = 1$就足够了。我们以归纳对$n$争论；一个有

其中 $q(u)$ 是次数 $\leq n - 1$ 的多项式，系数为 $\mathfrak{K}$。由假设函数$na(x)$和$q(y(x))$不变换在区间$[ \beta, +\infty[$上签名；因此，引理是引理 1 的推论。

事实上，到引理 2，存在一个区间$[ x_1, +\infty[$，$r(y)$在其上定义、连续且没有变换符号，从中可以立即得出$\mathfrak{K}(y)/\mathbf{R}_\infty$是域；此外，由于

（其中$r'(y) = (p'(y)q(y) - p(y)q'(y))/(q(y))^2$由$+\infty$的邻域上的假设定义），$\mathfrak{K}(y)$属于到$\mathfrak{K}(y)$中每个函数的导数，证明$\mathfrak{K}(y)$满足def的条件。 V、p. 247 中的 1 个。

显然，$\mathfrak{K}(y)/\mathbf{R}_\infty$是由$y$模$\mathbf{R}_\infty$的类的代数*伴随*到$\mathfrak{K}/\mathbf{R}_\infty$得到。 Again one says that $\mathfrak{K}(y)$ is obtained by adjoining $y$ to $\mathfrak{K}$.

事实上，在 $\mathfrak{K}$ 的区间 $[ x_0, +\infty[$ 上，$(\log|y|)' = y'/y$ 等于函数。

推论 2 如果 $y$ 是 $\mathfrak{K}$ 中的任意函数，则 $\mathfrak{K}(e^y)$ 是 Hardy 域。

事实上，$(e^y)' = e^y y'$和$y'$等于$\mathfrak{K}$中的函数，且间隔为$[ x_0, +\infty[$。

COROLLARY 3 If $\mathfrak{K}$ contains the real constants, and if $y$ is a function in $\mathfrak{K}$, not identically zero on a neighbourhood of $+\infty$, then $\mathfrak{K}(|y|^{\alpha})$ is a Hardy field for every real number $\alpha$.

事实上，$\frac{d}{dx}(|y|^{\alpha}) = |y|^{\alpha} (\alpha y'/y)$和$\alpha y'/y$等于$\mathfrak{K}$中的函数，且间隔为$[ x_0, +\infty[$。

最后，我们注，如果$y$是$\mathfrak{K}$中任何函数的*原始*，那么$\mathfrak{K}(y)$又是Hardy域。

事实上，如果 $f$ 属于到 Hardy 域 $\mathscr{K}$，那么对于每个整数 $n > 0$ 都存在一个区间 $[x_0, +\infty[$，其中 $f$ $n$ 倍可微，其 $n^{th}$ 导数等于函数在 $\mathscr{K}$ 在此间隔内。因此，足以证明 $\mathscr{K}$ 中的任何两个函数 $f, g$ 都是“可比较的”。如果函数之一与 $+\infty$ 的邻域上的零相同，则这一点很明显；因此，我们可以限制自己的情况，即它们在邻域和 $+\infty$ 上都严格为正。但是，对于每个实数 $t$，$f - tg$等于$+\infty$的邻域上的$\mathscr{K}$中的函数，因此$+\infty$的邻域上有常数符号，这就证明了命题 （V，p. 217，第 9 条）。

由此命题可以立即推断出，如果 Hardy 域 $\mathscr{K}$ 包含为实常数（正如我们在下文中始终假设的那样），并且如果 $f$ 和 $g$ 是 $\mathscr{K}$ 中的任意两个函数，则以下任意两个函数 $e^f, e^g, \log |f|, \log |g|, |f|^{\alpha}, |g|^{\alpha}$（$\alpha$任意实数），$\int_a f, \int_a g$（$a$是$[x_0, +\infty[$区间内的任何实数，其中$f$和$g$受到调节）是*可比较的*（当它们被定义时）；事实上，任何两个函数属于到给定的 Hardy 域都可以通过将它们相继邻接到 $\mathscr{K}$ 来获得。

类似地，Hardy 域 $\mathscr{K}$ 中的每个函数 $f(x)$ 都可与 $x$ 进行比较，因为 $x$ 和 $f(x)$ 属于与通过将 $x$ 邻接而获得的 Hardy 域可以比较$\mathscr{K}$。因此，结论（特别是）$f$可与任何阶、每个幂$x^{\alpha}$、以及$\log x$和$e^x$进行比较。

我们还可以看出，如果 $f$ 和 $g$ 属于为同一个 Hardy 域 $\mathscr{K}$，如果 $g(x) > 0$ 在区间 $[x_0, +\infty[$ 上，并且如果 $g(x)$ 趋于 0 或$+\infty$，如下所示： $x$趋向于$+\infty$，则$f$相对于$g$（V，p. 219）的*阶*始终是有定义的。

因此，V、p. 233的第 8 条命题适用于 Hardy 域中的每个函数 $f$，并证明：

1) 如果 $f$ 相对于 $x$ 是阶 $+\infty$，则$\int_a^x f(t)\,dt \sim (f(x))^2/f'(x)$。

2) 如果$f$相对于$x$是阶$\mu > -1$，则$\int_a^x f(t)\,dt \sim \frac{1}{\mu+1} x f(x)$。

3) 如果$f$相对于$x$是阶$\mu < -1$，则$\int_a^{+\infty} f(t)\,dt \sim -\frac{1}{\mu+1} x f(x)$。

4) 如果$f$相对于$x$是阶$-\infty$，则$\int_a^{+\infty} f(t)\,dt \sim -(f(x))^2/f'(x)$。

此外，我们有以下命题：

1 如果 $f$ 相对于 $x$ 是无限的阶，则对于每个整数 $n > 0$，

(2)

2° 如果 $f$ 相对于 $x$ 是有限的阶 $\mu$ 那么，对于每个 $n > 0$，

(3) 除非 $\mu$ 是整数 $\geqslant 0$ 和 $n > \mu$。

1 如果$f$相对于$x$而言是无限的阶，则有$\log |f| \gg \log x$，因此，由于$\log |f|$和$\log x$可与任何阶、$f'/f \gg 1/x$进行比较。把$g = f'/f$；因为$g$等于$+\infty$的邻域上的$\mathscr{K}$中的函数，所以可以从$1/g \ll x$推出$g'/g^2 \ll 1$，等等$g'/g \ll g = f'/f$，或者再次推出$fg' \ll gf'$。从关系 $f' = fg$ 微分推出

或者再次$f''/f' \sim f'/f$。同样的论点，应用于 $f^{(n)}$ 而不是 $f$，则通过归纳在 $n$ 上显示 $f^{(n)}/f^{(n-1)} \sim f'/f$； 从而关系 (2)。

2 如果$f$相对于$x$有限阶$\mu$，并且如果$\mu \neq 0$，则有$\log |f| \sim \mu \log x$，从而，微分时，$f'(x) \sim \mu \frac{f(x)}{x}$；推论出$f'$相对于$x$而言是阶$\mu - 1$，这允许人们在$n$上通过归纳应用相同的参数，只要$\mu \neq n$、从而公式 (3) 当$\mu$不是时整数$\geqslant 0$和$< n$。

当$f$相对于$x$是阶$p \geqslant 0$的积分时，可以写成$f(x) = x^p f_1(x)$，其中$f_1$相对于$x$是阶0。通过道具。 2个有

为了评估阶$n > p$的导数，我们可以将自己限制在$p = 0$的情况。那么一个有$\log |f| \ll \log x$，从而$f'(x)/f(x) \ll 1/x$，其他字$x f'(x) \ll f(x)$；如果$f$不等于常数$k \neq 0$，则在微分这个关系（V，p. 232，道具7）时，有$x f''(x) + f'(x) \ll f'(x)$，这意味着$x f''(x) \sim -f'(x)$。考虑到这个公式，人们可以通过$n$上的归纳看到$f^{(n)}$相对于$x$是阶$\leqslant -n$，并且 (4)

如果$f$相当于常数$k \neq 0$，则有$f(x) = k + f_2(x)$和$f_2 \ll 1$，约化可以研究$f_2$的导数。

Denote by $\mathscr{K}$ the set of functions $f \in \mathscr{H}(\mathfrak{F}, \mathbf{R})$ having the following properties: for each function $f \in \mathscr{K}$ there is a finite number of Hardy fields $\mathscr{K}_1, \mathscr{K}_2, \ldots, \mathscr{K}_n$ (the number $n$ and the fields $\mathscr{K}_i$ depending on $f$) such that $f \in \mathscr{K}_n$ and, for $0 \leq i \leq n-1$, one has $\mathscr{K}_{i+1} = \mathscr{K}_i(u_{i+1})$ where $u_{i+1}$ is equal either to $e^{z_i}$ or to $\log |z_i|$ with $z_i$ belonging to $\mathscr{K}_i$ and not vanishing identically on a neighbourhood of $+\infty$. 有人说域 $\mathscr{K}_n$ 和函数 $f$ 的 $u_1, u_2, \ldots, u_n$ 形式 a 定义序列；同一个函数自然可以容纳多个定义序列。

按定义。 V、p. 247中的 1，每个函数 $f \in \mathscr{K}$，与 $+\infty$ 的邻域上的零不相同，具有常数符号并且在区间 $[x_0, +\infty[$ 上可微；如果$f \in \mathscr{K}_n$，则$1/f$和$f'$等于$\mathscr{K}_n$中的函数，因此等于$\mathscr{K}$中的函数，在$+\infty$的邻域上。要看出$\mathscr{K}$是哈代域，就足以证明如果$f$和$g$是$\mathscr{K}$中的两个函数，则$f - g$和$fg$等于$\mathscr{K}$中的函数邻域共 $+\infty$。现在让$f$的$u_1, u_2, \ldots, u_m$为定义序列，$v_1, v_2, \ldots, v_n$定义序列为$g$。通过连接序列 $(u_i)$ 和 $(v_i)$ 获得的序列 $u_1, u_2, \ldots, u_m, v_1, v_2, \ldots, v_n$ 又是 Hardy 域 $\mathscr{K}_{m+n}$ 的定义序列和这个域包含 $f$和$g$，因此$f - g$和$fg$等于$+\infty$的邻域上的$\mathscr{K}_{m+n}$中的函数。

有人说，在 prop 的证明中定义的 Hardy 域 $\mathscr{K}$ 。 3 是 Hardy 域 $\mathscr{K}_0$ 的 (H) 扩张。

如果 $\mathscr{K}'$ 是另一个 Hardy 域拥有道具中所述的属性。 3，从$\mathscr{K}$的构造得出$\mathscr{K}/\mathbf{R}_\sim$*包含于*在$\mathscr{K}'/\mathbf{R}_\sim$中。滥用语言，有人说 Hardy 域 $\mathscr{K}_0$ 的 (H) 扩张是具有这些属性的 最小的 Hardy 域 $\mathscr{K}$。

1° 如果 $q \ll p/p'$ 有 $p(x + q(x)) \sim p(x)$。 2° 如果$q \ll p/p'$ 和$q(x) \ll x$ 都存在，则$p(x - q(x)) \sim p(x)$。

如果$p \sim k$（常数$\neq 0$），则此命题的两个部分是明确的；因此，我们可以假设$p(x) \ll 1$（否则可以将论证应用于$1/p$）。然后推导出$p'(x) \ll 1$。

1° 可以用 $0 \leq \theta \leq 1$ 写出$p(x + q(x)) = p(x) + q(x)p'(x + \theta q(x))$（I、p. 14，推出）。由于$|p'(x)|$趋向于0，而$x$趋于$+\infty$，并且等于$+\infty$的邻域上的(H)函数，因此在区间$[x_1, +\infty[$上有递减，因此，对于$x \geq x_1$，有$|p'(x + \theta q(x))| \leq |p'(x)|$；从 $qp' \ll p$ 开始，一个人就有 $p(x + q(x)) \sim p(x)$。

2° 条件 $q(x) \ll x$ 确保 $x - q(x)$ 趋向于 $+\infty$ 和 $x$。再次有 $p(x - q(x)) = p(x) - q(x)p'(x - \theta p(x))$ 和 $0 \leq \theta \leq 1$。与证明的第一个部分相同的论证表明，对于$x$足够大，$|p'(x - \theta q(x))| \leq |p'(x - q(x))|$。它约化表明$q(x) \frac{p'(x - q(x))}{p(x - q(x))}$趋于0，而$x$趋于$+\infty$。如果 $p'/p \gg 1$ 从那时起 $|p'/p|$ 是 (H) 函数，递增对于 $x$ 足够大，则命题为真；因此 $q(x) \frac{|p'(x - q(x))|}{|p(x - q(x))|} \leq q(x) \frac{|p'(x)|}{|p(x)|}$，$qp' \ll p$ 假设。如果$p'/p \sim k$（$k$常量$\neq 0$）也成立，那么

因为$x - q(x)$趋向于$+\infty$。只剩下检查$p'/p \ll 1$的情况了。首先假设 $p(x)$ 相对于 $x$ 是*有限* 阶，因此 (V, p. 232, 命题 7) $p'(x)/p(x) \ll 1/x$。然后一个有

所以 在这种情况下，人们会发现命题 仅是假设 $q(x) \ll x$ 的真实主题。最后我们检查$1/x \ll p'(x)/p(x) \ll 1$的情况；那么函数$r = p'/p$相对于$x$是有限的阶；因为，根据前面的注，道具。 V、p. 255中的4个适用于这样的函数，其中一个有$p'(x-q(x))/p(x-q(x)) \sim p'(x)/p(x)$，假设$qp' \ll p$可以让我们完成证明。