习题 15, 附录 0

令 $f$ 为 (H) 函数，在 $+\infty$ 的邻域上凸，使得 $f(x) \gg x$。对于每个$\alpha > 0$，令$x_\alpha$为点，使得$f'(x_\alpha) = (1 + \alpha) f'(x)$。

a) 如果 $f$ 相对于 $x$ 为阶 $+\infty$ 则表明

（使用道具2（V，p. 251）和4（V，p. 255），应用泰勒公式到$\log f'(x)$）。证明 $\left( f(x_\alpha) - (x_\alpha - x)f'(x_\alpha) \right)/f(x)$ 趋于 $(1 + \alpha)(1 - \log(1 + \alpha))$，因为 $x$ 趋于 $+\infty$。

b) 如果 $f$ 相对于$x$ 是阶 $r > 1$ 则表明

（注，如果$f_1$相对于$x$来说是阶 0，则对于每个常数$k$，根据V、p. 255的命题4，都有$f_1(kx) \sim f_1(x)$）。推断 $\left( f(x_\alpha) - (x_\alpha - x)f'(x_\alpha) \right)/f(x)$ 趋于 因为 $x$ 趋于 $+\infty$。

c) 最后假设$f$ 相对于$x$ 为阶 1。设$f(x) = x f_1(x)$表明

（考虑$f_1$的逆函数，即相对于$x$的阶$+\infty$）。推断 $\left( f(x_\alpha) - (x_\alpha - x)f'(x_\alpha) \right)/f(x)$ 趋于 $-\infty$，因为 $x$ 趋于 $+\infty$。

类似地，让$x_\alpha'$为点，使得$f'(x_\alpha') = (1 - \alpha)f'(x)$（对于$0 < \alpha < 1$）。状态公式类似于之前表达$x - x_\alpha'$和极限的本金部分的状态

因为 $x$ 趋于 $+\infty$。

从这些结果结论可以看出，$f$是$+\infty$的邻域上的规则凸函数（V，p. 260，练习5）。