习题 3, § 1

a) 设 $(\alpha_i, \beta_i)$ 与实数 $\geqslant 0$ 不同的 $n$ 右，与 $(0, 0)$ 不同，且$\inf_i \alpha_i = \inf_i \beta_i = 0$。考虑方程

其中$a_i$是实数$\neq 0$，$\varphi_i$是平方$0 \leqslant x \leqslant a, 0 \leqslant y \leqslant a$上连续的函数，随着$(x, y)$趋向于$(0, 0)$而趋于0。假设存在函数$g$，其在区间$[0, b]$上为正且连续，与$x$趋向于0，并且对于所有$x \in [0, b]$都有$f(x, g(x)) = 0$。对于每个实数$\mu > 0$，表明$g(x)/x^\mu$趋于极限，有限或无限，因为$x$趋于0（使用V，p. 217，道具9，考虑到，对于每个数$t \geqslant 0$，方程$f(x, tx^\mu) = 0$）。

b) 为了使 $g(x)/x^\mu$ 趋向于有限的极限 $\neq 0$，$\mu$ 必须存在至少两个不同的对 $(\alpha_h, \beta_h)$ 和 $(\alpha_k, \beta_k)$，使得 $\alpha_h + \mu \beta_h = \alpha_k + \mu \beta_k$ 并且对于每一个其他对 $(\alpha_i, \beta_i)$，有一个$\alpha_i + \mu \beta_i \geqslant \alpha_h + \mu \beta_h$。 One thus obtains a finite number of possible values $\mu_j$ ($1 \leqslant j \leqslant r$); the numbers $-1/\mu_j$ are the gradients of the affine lines in the plane $\mathbf{R}^2$ which contain at least two of the set of points $(\alpha_i, \beta_i)$ and such that all the other points of this set lie above the line considered ("Newton polygon").

c) 设$\mu_1$为数$\mu_j$中的最小的。证明 $g(x)/x^{\mu_1}$ 趋向于有限的极限（可能是零）。 （首先证明，如果 $i$ 和 $j$ 是两个不同的指标，则一个不能同时具有 $\alpha_i \leqslant \alpha_j$ 和 $\beta_i \leqslant \beta_j$；推断出人们可以假设 $\alpha_1 = 0$、$\alpha_i > 0$ 和 $\beta_i < \beta_1$ 对于 $i \neq 1$；现在，将$g(x) = t(x) x^{\mu_1}$，表明 $t(x)$ 不能趋于 $+\infty$，而 $x$ 趋于 0。）

d) 从c)中，通过对$r$的递归推论，存在指标$j$，使得$g(x)/x^{\mu_j}$趋向于有限的极限$\neq 0$，而$x$趋于0。