习题 4, § 3

a) 证明$\frac{\sin x}{\sqrt{x}} \sim \frac{\sin x}{\sqrt{x}} \left( 1 + \frac{\sin x}{\sqrt{x}} \right)$，但积分$\int_a^{+\infty} \frac{\sin t}{\sqrt{t}} \, dt$收敛，而积分$\int_a^{+\infty} \frac{\sin t}{\sqrt{t}} \left( 1 + \frac{\sin t}{\sqrt{t}} \right) dt$无穷大。

b) 证明积分$\int_a^{+\infty} \frac{\sin t}{t} \, dt$和$\int_a^{+\infty} \frac{\sin^2 t}{t^2} \, dt$都是收敛的，但$\int_a^{+\infty} \frac{\sin^2 t}{t^2} \, dt$相对于$\int_a^{+\infty} \frac{\sin t}{t} \, dt$不可忽略，甚至虽然$\sin^2 t / t^2 \ll \sin t / t$。

c) 考虑$\mathbf{R}^2$中的两个连续函数和值，定义在$[1, +\infty[$上：

证明它们对于 $x$ 的任何值都不会消失，$f \sim g$ 因为 $x$ 趋于 $+\infty$，整的 $\int_a^{+\infty} f(t) \, dt$ 和 $\int_a^{+\infty} g(t) \, dt$ 收敛，但是 $\int_a^{+\infty} f(t) \, dt$ 不等于 $\int_a^{+\infty} g(t) \, dt$，如$x$趋于$+\infty$。